Формулы двойного угла в тригонометрии

В этой статье вы сможете узнать:

что такое формулы двойного угла и откуда они берутся;
когда именно их нужно применять при решении задач;
как понять, что в задаче нужны именно эти формулы.

Что такое формулы двойного угла

Формулы двойного угла — это тригонометрические формулы, которые позволяют выразить синус, косинус и тангенс угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$ .

Основные формулы

Синус двойного угла

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Косинус двойного угла

Косинус двойного угла можно записать тремя равносильными способами — какую использовать, зависит от того, что дано в задаче:

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$

Вторая и третья формы получаются из первой подстановкой основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — они особенно удобны, когда в задаче известен только синус или только косинус угла $\alpha$ .

Тангенс двойного угла

$\mathrm{tg}\,2\alpha = \dfrac{2\,\mathrm{tg}\,\alpha}{1-\mathrm{tg}^2\alpha}$

Формула для тангенса двойного угла имеет смысл только тогда, когда определены обе части равенства: угол $\alpha$ не должен быть равен $\dfrac{\pi}{2} + \pi n$ (иначе не определён сам $\mathrm{tg}\,\alpha$ ), а $\mathrm{tg}\,\alpha$ не должен быть равен $\pm 1$ (иначе знаменатель обращается в ноль).

Когда применяются формулы двойного угла

Формулы двойного угла применяются, когда в задаче встречается угол, который в два раза больше другого угла — например, $\sin(2x)$ , $\cos(2\alpha)$ , $\mathrm{tg}(2\beta)$ .

Они также полезны, когда обычный угол можно представить как двойной:

$60^\circ = 2 \cdot 30^\circ$ ;
$90^\circ = 2 \cdot 45^\circ$ ;
$120^\circ = 2 \cdot 60^\circ$ .

Кроме того, формулы двойного угла часто используются в обратную сторону — как способ свернуть выражение в более простую форму. Например, выражение $2\sin x\cos x$ можно заменить на $\sin 2x$ , что заметно упрощает дальнейшее решение.

На ЕГЭ эти формулы чаще всего встречаются в заданиях на преобразование тригонометрических выражений и при решении тригонометрических уравнений.

В каких заданиях ЕГЭ встречаются формулы двойного угла

Базовый уровень. Тригонометрия практически не входит в базовый уровень ЕГЭ — задания здесь построены на практических расчётах, простой геометрии и элементарных уравнениях, поэтому формулы двойного угла на базовом уровне встретиться не должны.

Профильный уровень. Здесь формулы двойного угла нужны в основном в двух номерах:

задание 7 (вычисление значения выражения) — один из самых частых случаев: выражение вида $2\sin\alpha\cos\alpha$ или $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ нужно свернуть по формуле двойного угла, чтобы быстро получить числовой ответ;
задание 13 (тригонометрическое уравнение, часть 2) — один из основных приёмов приведения уравнения к виду, где можно применить разложение на множители или замену переменной.

Алгоритм применения

Проверьте, есть ли в выражении угол вида $2\alpha$ (или его можно представить как удвоенный).
Определите, какая функция нужна — синус, косинус или тангенс, — и выберите соответствующую формулу.
Для косинуса выберите ту из трёх форм записи, которая соответствует данным в условии (если известен только $\sin\alpha$ или только $\cos\alpha$ ).
Подставьте известные значения и упростите выражение.

Примеры решения

Пример 1. Найдите значение $\sin 60^\circ$ .

Заметим, что $60^\circ = 2 \cdot 30^\circ$ . Используем формулу $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ при $\alpha = 30^\circ$ .

Известно, что $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ , $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Получаем:

$\sin 60^\circ = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Пример 2. Упростите выражение $2\sin x\cos x$ .

По формуле синуса двойного угла сразу получаем: $2\sin x\cos x = \sin 2x$ .

Ответ: $\sin 2x$ .

Пример 3. Выразите $\cos 2x$ через $\sin x$ .

Используем ту форму записи косинуса двойного угла, которая содержит только синус: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ .

Ответ: $1 - 2\sin^2 x$ .

Часто задаваемые вопросы

Нужно ли запоминать все три формулы косинуса двойного угла? Да, все три полезны — они равносильны, но каждая удобна в своей ситуации: иногда проще выразить ответ через $\sin x$ , а иногда — через $\cos x$ , в зависимости от того, что дано в условии.

Где формулы двойного угла чаще всего встречаются на ЕГЭ? В заданиях на преобразование тригонометрических выражений и при решении тригонометрических уравнений, где переход к двойному или обычному углу упрощает уравнение.

Как быстрее всего запомнить эти формулы? Лучше всего они запоминаются через регулярное применение в задачах — после нескольких десятков примеров формулы начинают вспоминаться автоматически, без сознательного усилия.

Чем формулы двойного угла отличаются от формул приведения? Формулы двойного угла выражают функции угла $2\alpha$ через функции угла $\alpha$ . Формулы приведения, в отличие от них, преобразуют функции углов вида $90^\circ \pm \alpha$ , $180^\circ \pm \alpha$ , $270^\circ \pm \alpha$ и $360^\circ \pm \alpha$ — это совсем другая задача.

Задачи для самостоятельного решения

Найдите значение $\sin 120^\circ$ .
Представьте выражение $2\sin x\cos x$ через одну тригонометрическую функцию.
Выразите $\cos 2x$ через $\cos x$ .
Докажите равенство: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ .
Упростите выражение $\dfrac{\sin 2x}{2\cos x}$ .
Выразите $\cos 2x$ через $\sin x$ .