Question

Точечный источник света движется со скоростью $v$ по окружности вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плоскости, параллельной плоскости линзы на расстоянии $d = 30$ см от линзы. Фокусное расстояние линзы $F = 20$ см. Скорость движения изображения точечного источника света $v_1 = 10$ см/с. Найдите скорость движения источника света.

Accepted Answer

Answer

Дано: $d = 0{,}30$ м, $F = 0{,}20$ м, $v_1 = 0{,}10$ м/с.

Идея решения: применить формулу тонкой линзы для связи расстояний, затем продифференцировать по времени, чтобы связать скорости предмета и изображения.

Формула тонкой линзы:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$$

где $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Найдём $f$:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{1}{0{,}20} - \frac{1}{0{,}30} = 5 - 3{,}33 = 1{,}67 	ext{ м}^{-1}$$

$$f = 0{,}60 	ext{ м}$$

Источник движется по окружности радиусом $h$ в плоскости, параллельной линзе. Его расстояние от главной оптической оси в момент времени $t$ равно $h = d \sin	heta(t)$, где $	heta$ — угловое положение.

Скорость источника в радиальном направлении (перпендикулярно оси):

$$v_r = \frac{dh}{dt} = d\cos	heta \cdot \frac{d	heta}{dt}$$

Максимальная радиальная скорость: $v_r^{\max} = d \cdot \omega$, где $\omega = v/d$ (угловая скорость).

Изображение также движется в плоскости, параллельной линзе. Его расстояние от оси:

$$h_1 = f \sin	heta$$

Радиальная скорость изображения:

$$v_{1r} = \frac{dh_1}{dt} = f\cos	heta \cdot \frac{d	heta}{dt}$$

Связь между радиальными скоростями:

$$v_{1r} = \frac{f}{d} \cdot v_r$$

Поскольку источник движется по окружности с постоянной скоростью $v$, его радиальная компонента скорости изменяется. Однако в момент, когда источник находится на максимальном расстоянии от оси (в плоскости, содержащей ось и центр окружности), радиальная скорость максимальна и равна $v$.

Аналогично, максимальная радиальная скорость изображения равна $v_1$.

Из соотношения:

$$v_1 = \frac{f}{d} \cdot v$$

$$v = \frac{d}{f} \cdot v_1 = \frac{0{,}30}{0{,}60} \cdot 0{,}10 = 0{,}05 	ext{ м/с} = 5 	ext{ см/с}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/wvcCEr6jrUbmKiamcxAt9FJzRjy3TKyl4z5XSltM.jpg)

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике