Question

К колебательному контуру подключили источник переменного напряжения с циклической частотой $\omega = 2 \cdot 10^4$ с$^{-1}$. Ёмкость конденсатора в контуре можно изменять в диапазоне от 2,5 нФ до 1 мкФ, индуктивность катушки $L = 0{,}04$ Гн. При постепенном уменьшении ёмкости от максимума к минимуму ученик заметил, что амплитуда тока в контуре сначала растёт, достигает пика, а затем убывает. Объясните это явление, опираясь на законы электродинамики.

Accepted Answer

Амплитуда максимальна при резонансе, когда $\omega_0 = \omega$, что соответствует $C_р = 62{,}5$ нФ. При уменьшении ёмкости от 1 мкФ до этого значения расстройка уменьшается и амплитуда растёт; при дальнейшем уменьшении расстройка увеличивается и амплитуда падает

Answer

Дано: $\omega = 2 \cdot 10^4$ с$^{-1}$, $C_{\min} = 2{,}5$ нФ, $C_{\max} = 1$ мкФ, $L = 0{,}04$ Гн.

Идея решения: в контуре возникают вынужденные колебания, амплитуда которых максимальна при совпадении собственной частоты контура с частотой источника (резонанс).

**Собственная частота колебательного контура:**

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Амплитуда тока в контуре зависит от расстройки $|\omega - \omega_0|$: она максимальна при $\omega_0 = \omega$ (резонанс).

$$\omega_0 = \omega \quad \Rightarrow \quad C_р = \frac{1}{L\omega^2}$$

Подставляя значения:

$$C_р = \frac{1}{0{,}04 \cdot (2 \cdot 10^4)^2} = \frac{1}{0{,}04 \cdot 4 \cdot 10^8} = \frac{1}{1{,}6 \cdot 10^7} = 62{,}5 	ext{ нФ}$$

**Анализ процесса:**

При начальной ёмкости $C_1 = 1$ мкФ собственная частота:

$$\omega_{01} = \frac{1}{\sqrt{0{,}04 \cdot 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 10^{-8}}} = 5 \cdot 10^3 	ext{ с}^{-1}$$

Эта частота в 4 раза меньше $\omega$, поэтому расстройка велика и амплитуда мала.

По мере уменьшения ёмкости собственная частота $\omega_0$ возрастает. Когда $C$ достигает $C_р = 62{,}5$ нФ, выполняется условие резонанса $\omega_0 = \omega$, и амплитуда тока достигает максимума.

При дальнейшем уменьшении ёмкости ($C < 62{,}5$ нФ) собственная частота становится больше $\omega$, расстройка $|\omega - \omega_0|$ растёт, и амплитуда убывает.

Задание №21Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике