Question

Вертикальный цилиндрический сосуд, закрытый сверху, разделён тяжёлым поршнем без трения на две части. Изначально в верхней и нижней частях находится по $
u = 1$ моль воздуха, отношение объёмов верхней и нижней частей составляет $2:1$. Из верхней части удаляют некоторое количество воздуха $\Delta
u$. После установления нового равновесия отношение объёмов верхней и нижней частей становится $2:3$. Температура воздуха в обеих частях остаётся одинаковой и постоянной. Найдите количество удалённого воздуха.

Accepted Answer

Answer

Дано: $
u_1 = 1$ моль (верхняя часть), $
u_2 = 1$ моль (нижняя часть), начальное отношение объёмов $V_1^{(0)} : V_2^{(0)} = 2 : 1$, конечное отношение $V_1^{(1)} : V_2^{(1)} = 2 : 3$, температура $T$ постоянна.

Идея решения: использовать условие механического равновесия поршня (равенство давлений) и уравнение состояния идеального газа для начального и конечного состояний.

**Начальное состояние.**

Обозначим начальные давления верхней и нижней частей как $p_1^{(0)}$ и $p_2^{(0)}$. Из условия равновесия поршня:

$$p_1^{(0)} + ho g h = p_2^{(0)}$$

где $ho g h$ — вес поршня на единицу площади. Обозначим $\Delta p = ho g h$.

Пусть $V_1^{(0)} = 2V_0$ и $V_2^{(0)} = V_0$. По уравнению состояния:

$$p_1^{(0)} \cdot 2V_0 = 
u_1 RT = RT$$

$$p_2^{(0)} \cdot V_0 = 
u_2 RT = RT$$

Отсюда:

$$p_1^{(0)} = \frac{RT}{2V_0}, \quad p_2^{(0)} = \frac{RT}{V_0}$$

Из условия равновесия:

$$\Delta p = p_2^{(0)} - p_1^{(0)} = \frac{RT}{V_0} - \frac{RT}{2V_0} = \frac{RT}{2V_0}$$

**Конечное состояние.**

После удаления воздуха в верхней части остаётся $
u_1' = 1 - \Delta
u$ молей. Пусть $V_1^{(1)} = 2V_1$ и $V_2^{(1)} = 3V_1$. Новые давления:

$$p_1^{(1)} \cdot 2V_1 = (1 - \Delta
u) RT$$

$$p_2^{(1)} \cdot 3V_1 = 
u_2 RT = RT$$

Отсюда:

$$p_1^{(1)} = \frac{(1 - \Delta
u) RT}{2V_1}, \quad p_2^{(1)} = \frac{RT}{3V_1}$$

Условие равновесия поршня остаётся прежним:

$$p_2^{(1)} - p_1^{(1)} = \Delta p = \frac{RT}{2V_0}$$

Подставляя:

$$\frac{RT}{3V_1} - \frac{(1 - \Delta
u) RT}{2V_1} = \frac{RT}{2V_0}$$

Сокращаем на $RT$ и приводим к общему знаменателю:

$$\frac{2 - 3(1 - \Delta
u)}{6V_1} = \frac{1}{2V_0}$$

$$\frac{2 - 3 + 3\Delta
u}{6V_1} = \frac{1}{2V_0}$$

$$\frac{3\Delta
u - 1}{6V_1} = \frac{1}{2V_0}$$

Из начального состояния $p_1^{(0)} = \frac{RT}{2V_0}$, поэтому $V_0 = \frac{RT}{2p_1^{(0)}}$. Однако проще заметить, что из $\Delta p = \frac{RT}{2V_0}$ имеем $2V_0 = \frac{RT}{\Delta p}$.

Перепишем уравнение:

$$\frac{3\Delta
u - 1}{6V_1} = \frac{1}{2V_0}$$

$$2V_0(3\Delta
u - 1) = 6V_1$$

$$V_1 = \frac{V_0(3\Delta
u - 1)}{3}$$

Также из начального состояния $V_1^{(0)} = 2V_0$, а из конечного $V_1^{(1)} = 2V_1$. Поскольку объём верхней части изменился, имеем:

$$2V_1 = 2V_0 \cdot \frac{V_1}{V_0} = 2V_0 \cdot \frac{3\Delta
u - 1}{3V_0} = \frac{2(3\Delta
u - 1)}{3}$$

Но также из условия равновесия нижней части: $V_2^{(1)} = 3V_1$, и $
u_2 = 1$ остаётся неизменным. Объём нижней части изменился с $V_0$ на $3V_1$.

Из $p_2^{(0)} V_0 = p_2^{(1)} \cdot 3V_1$ и $p_2^{(0)} = p_1^{(0)} + \Delta p$, $p_2^{(1)} = p_1^{(1)} + \Delta p$:

$$\left(p_1^{(0)} + \Delta pight) V_0 = \left(p_1^{(1)} + \Delta pight) \cdot 3V_1$$

Подставляя выражения для давлений:

$$\left(\frac{RT}{2V_0} + \frac{RT}{2V_0}ight) V_0 = \left(\frac{(1 - \Delta
u) RT}{2V_1} + \frac{RT}{2V_0}ight) \cdot 3V_1$$

$$RT = \frac{3(1 - \Delta
u) RT}{2} + \frac{3V_1 RT}{2V_0}$$

Сокращаем на $RT$:

$$1 = \frac{3(1 - \Delta
u)}{2} + \frac{3V_1}{2V_0}$$

$$2 = 3(1 - \Delta
u) + \frac{3V_1}{V_0}$$

$$2 = 3 - 3\Delta
u + \frac{3V_1}{V_0}$$

$$3\Delta
u - 1 = \frac{3V_1}{V_0}$$

Но из ранее полученного $V_1 = \frac{V_0(3\Delta
u - 1)}{3}$:

$$\frac{3V_1}{V_0} = 3\Delta
u - 1$$

Это согласуется. Теперь используем второе условие: объём нижней части изменился с $V_0$ на $3V_1 = V_0(3\Delta
u - 1)$.

Из $p_2^{(0)} V_0 = p_2^{(1)} \cdot 3V_1$ и обоих равных $RT$:

$$\frac{RT}{V_0} \cdot V_0 = \frac{RT}{3V_1} \cdot 3V_1 = RT$$

Это тождество. Нужен другой подход.

Заметим, что полный объём сосуда постоянен:

$$V_1^{(0)} + V_2^{(0)} = V_1^{(1)} + V_2^{(1)}$$

$$2V_0 + V_0 = 2V_1 + 3V_1$$

$$3V_0 = 5V_1$$

$$V_1 = \frac{3V_0}{5}$$

Из $V_1 = \frac{V_0(3\Delta
u - 1)}{3}$:

$$\frac{3V_0}{5} = \frac{V_0(3\Delta
u - 1)}{3}$$

$$\frac{9}{5} = 3\Delta
u - 1$$

$$3\Delta
u = 1 + \frac{9}{5} = \frac{14}{5}$$

$$\Delta
u = \frac{14}{15}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике