Question

К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень длиной $L = 40$ см. Если к этому стержню подвесить груз массой $m = 3$ кг на расстоянии $d = 5$ см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, а растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рис.). Жёсткость левой пружины в 3 раза меньше, чем у правой. Чему равна масса $M$ стержня? Сделайте рисунок с указанием сил, использованных в решении задачи. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Рисунок

![](image)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/nWrzdjs2jVUIM9h4qWuEosDGrclSErArFgEpQykn.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $L = 0{,}40$ м, $m = 3$ кг, $d = 0{,}05$ м, $k_л = k_п / 3$ (где $k_л$ — жёсткость левой пружины, $k_п$ — жёсткость правой).

**Обоснование модели:** Стержень считаем абсолютно жёстким и однородным. Пружины идеальные, нерастяжимые нити отсутствуют. Система находится в равновесии, поэтому применимы условия равновесия: сумма сил и сумма моментов равны нулю. Трением и сопротивлением воздуха пренебрегаем.

**Рисунок с силами:**

```
        ↑ F_л          ↑ F_п
        |              |
    ════════════════════════════  (стержень)
    |←─────────────────→|
    |        L          |
    |                   |
    |←─────────────────→|
    |    L/2 (центр)    |
    |                   |←─ d ─→|
    |                   |        ↓ mg
    ↓ Mg
```

Идея решения: использовать условие равновесия сил по вертикали и равновесие моментов относительно произвольной точки, учитывая связь между растяжениями пружин через их жёсткости.

**Шаг 1. Условие равновесия по вертикали:**

$$F_л + F_п = Mg + mg$$

где $F_л$ и $F_п$ — силы упругости левой и правой пружин.

**Шаг 2. Связь между растяжениями и силами:**

По условию растяжения обеих пружин одинаковы: $\Delta x_л = \Delta x_п = \Delta x$.

Тогда:
$$F_л = k_л \Delta x = \frac{k_п}{3} \Delta x$$
$$F_п = k_п \Delta x$$

Следовательно:
$$F_п = 3 F_л$$

**Шаг 3. Подстановка в условие равновесия сил:**

$$F_л + 3F_л = Mg + mg$$
$$4F_л = Mg + mg \quad \Rightarrow \quad F_л = \frac{Mg + mg}{4}$$

**Шаг 4. Условие равновесия моментов относительно левой пружины:**

Расстояние от левой пружины до центра стержня: $L/2 = 0{,}20$ м.

Расстояние от левой пружины до точки подвеса груза: $L - d = 0{,}40 - 0{,}05 = 0{,}35$ м.

$$F_п \cdot 0 + Mg \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot (L - d) = F_п \cdot L$$

Момент правой пружины относительно левой равен $F_п \cdot L$ (плечо — расстояние между пружинами).

$$Mg \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot (L - d) = F_п \cdot L$$

**Шаг 5. Подстановка $F_п = 3F_л$:**

$$Mg \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot (L - d) = 3F_л \cdot L$$

Из шага 3: $F_л = \frac{Mg + mg}{4}$, поэтому:

$$Mg \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot (L - d) = 3 \cdot \frac{Mg + mg}{4} \cdot L$$

$$Mg \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot (L - d) = \frac{3L}{4}(Mg + mg)$$

Умножим на 4:

$$2MgL + 4mg(L - d) = 3L(Mg + mg)$$

$$2MgL + 4mgL - 4mgd = 3MgL + 3mgL$$

$$2MgL - 3MgL = 3mgL - 4mgL + 4mgd$$

$$-MgL = -mgL + 4mgd$$

$$MgL = mgL - 4mgd$$

$$M = m - \frac{4md}{L}$$

$$M = m\left(1 - \frac{4d}{L}ight)$$

**Шаг 6. Подстановка чисел:**

$$M = 3 \left(1 - \frac{4 \cdot 0{,}05}{0{,}40}ight) = 3 \left(1 - \frac{0{,}20}{0{,}40}ight) = 3 \left(1 - 0{,}5ight) = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5 	ext{ кг}$$

**Проверка адекватности:** Масса стержня (1,5 кг) меньше массы груза (3 кг), что физически разумно для данной конфигурации.

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике