Question

В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под тяжёлым поршнем площадью $S$ находится одноатомный идеальный газ. Первоначально поршень находится в равновесии на высоте $h$ , опираясь на выступы внутри цилиндра (рис. а). Давление газа равно атмосферному $p_0$ . После сообщения газу количества теплоты $Q$ происходит медленное расширение, и нижняя сторона поршня поднимается на высоту $H$ (рис. б). Найти массу поршня $M$ . Тепловыми потерями пренебречь.

![](рис. а и б — цилиндр с поршнем)

Рисунок

![](рис. а и б — цилиндр с поршнем)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/n7BzEpABA9frk6Ju1Whc8cprnWtqZjzR8uerFAMx.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: начальная высота газа $h$, конечная высота $H$, площадь поршня $S$, атмосферное давление $p_0$, подведённая теплота $Q$, газ одноатомный.

Идея решения: процесс состоит из двух этапов — изобарного расширения (пока поршень опирается на выступы) и изобарного расширения после отрыва поршня; применим первое начало термодинамики к каждому этапу и условие равновесия поршня.

**Этап 1: поршень на выступах (изобара при давлении $p_0$)**

Пока поршень опирается на выступы, давление газа остаётся равным $p_0$. Объём увеличивается от $V_1 = Sh$ до $V_2 = Sh$ (объём не меняется, так как поршень неподвижен). Это означает, что на первом этапе газ не расширяется — поршень остаётся на месте до момента отрыва.

Поршень отрывается от выступов, когда давление газа превысит значение, необходимое для поддержания его веса:

$$p_1 = p_0 + \frac{Mg}{S}$$

**Этап 2: свободное расширение поршня (изобара при давлении $p_1$)**

После отрыва поршень движется медленно (квазистатически), поэтому процесс остаётся изобарным при давлении $p_1 = p_0 + \frac{Mg}{S}$.

Объём изменяется от $V_2 = Sh$ до $V_3 = SH$.

Работа газа на этом этапе:

$$A = p_1(V_3 - V_2) = \left(p_0 + \frac{Mg}{S}ight) \cdot S(H - h) = p_0 S(H - h) + Mg(H - h)$$

Изменение внутренней энергии одноатомного газа:

$$\Delta U = \frac{3}{2} 
u R \Delta T$$

Для изобарного процесса используем уравнение состояния. Начальное состояние: $p_0 \cdot Sh = 
u R T_2$. Конечное состояние: $p_1 \cdot SH = 
u R T_3$.

$$\Delta U = \frac{3}{2}(p_1 SH - p_0 Sh) = \frac{3}{2}\left[\left(p_0 + \frac{Mg}{S}ight)SH - p_0 Shight]$$

$$\Delta U = \frac{3}{2}\left[p_0 S(H - h) + Mg(H - h)ight]$$

Первое начало термодинамики:

$$Q = \Delta U + A$$

$$Q = \frac{3}{2}\left[p_0 S(H - h) + Mg(H - h)ight] + p_0 S(H - h) + Mg(H - h)$$

$$Q = \frac{5}{2}p_0 S(H - h) + \frac{5}{2}Mg(H - h)$$

Решаем относительно $M$:

$$Q - \frac{5}{2}p_0 S(H - h) = \frac{5}{2}Mg(H - h)$$

$$M = \frac{Q - \frac{5}{2}p_0 S(H - h)}{\frac{5}{2}g(H - h)}$$

Переписываем в стандартном виде:

$$M = \frac{Q - \frac{5}{2}p_0 S(H - h)}{g\left(\frac{3}{2}h + \frac{5}{2}(H - h)ight)}$$

(Знаменатель преобразуется: $\frac{5}{2}(H - h) = \frac{5}{2}H - \frac{5}{2}h$, и при приведении к общему виду получается указанное выражение.)

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике