Question

В цикле, показанном на $pV$-диаграмме, $
u = 4$ моль разреженного гелия получает от нагревателя количество теплоты $Q_{	ext{нагр}} = 120$ кДж. Найдите температуру $T_2$ гелия в состоянии 2.

![](pV-диаграмма цикла)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/zgA6KLVoQ1Qn2tB84EKGKICRa1EQwEmkb2HPnKzi.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $
u = 4$ моль, $Q_{	ext{нагр}} = 120$ кДж $= 1{,}2 \cdot 10^5$ Дж, гелий (одноатомный газ, $C_V = \frac{3}{2}R$).

Идея решения: разбить цикл на три участка, применить первое начало термодинамики к каждому, найти изменение внутренней энергии и работу, затем определить температуру в состоянии 2.

**Определение координат состояний:**

По графику:
- Состояние 1: $p_1 = p_0$, $V_1 = V_0$.
- Состояние 2: $p_2 = 2p_0$, $V_2 = V_0$.
- Состояние 3: $p_3 = 3p_0$, $V_3 = 4V_0$.

**Участок 1→2 (изохора):**

Объём постоянен, $V = V_0$. Давление растёт от $p_0$ до $2p_0$.

$$A_{12} = 0$$

$$\Delta U_{12} = 
u C_V (T_2 - T_1) = 
u \cdot \frac{3}{2}R(T_2 - T_1)$$

$$Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2}
u R(T_2 - T_1)$$

**Участок 2→3 (прямая линия на $pV$-диаграмме):**

Процесс линейный: $p = 2p_0 + \frac{p_0}{3V_0}(V - V_0)$.

Работа газа:

$$A_{23} = \int_{V_0}^{4V_0} p \, dV = \int_{V_0}^{4V_0} \left(2p_0 + \frac{p_0}{3V_0}(V - V_0)ight) dV$$

$$A_{23} = 2p_0(4V_0 - V_0) + \frac{p_0}{3V_0} \cdot \frac{(4V_0 - V_0)^2}{2} = 6p_0V_0 + \frac{3p_0V_0}{2} = \frac{15p_0V_0}{2}$$

Изменение внутренней энергии:

$$\Delta U_{23} = 
u C_V (T_3 - T_2) = \frac{3}{2}
u R(T_3 - T_2)$$

Теплота:

$$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = \frac{3}{2}
u R(T_3 - T_2) + \frac{15p_0V_0}{2}$$

**Участок 3→1 (прямая линия):**

Процесс линейный: $p = 3p_0 - \frac{2p_0}{3V_0}(V - 4V_0)$.

Работа газа:

$$A_{31} = \int_{4V_0}^{V_0} p \, dV = -\int_{V_0}^{4V_0} \left(3p_0 - \frac{2p_0}{3V_0}(V - 4V_0)ight) dV$$

$$A_{31} = -\left(3p_0 \cdot 3V_0 - \frac{2p_0}{3V_0} \cdot \frac{9V_0^2}{2}ight) = -\frac{9p_0V_0}{2}$$

Изменение внутренней энергии:

$$\Delta U_{31} = \frac{3}{2}
u R(T_1 - T_3)$$

Теплота:

$$Q_{31} = \Delta U_{31} + A_{31} = \frac{3}{2}
u R(T_1 - T_3) - \frac{9p_0V_0}{2}$$

**Использование условия цикла:**

За полный цикл $\Delta U_{	ext{цикл}} = 0$:

$$\Delta U_{12} + \Delta U_{23} + \Delta U_{31} = 0$$

$$\frac{3}{2}
u R(T_2 - T_1) + \frac{3}{2}
u R(T_3 - T_2) + \frac{3}{2}
u R(T_1 - T_3) = 0$$

Это тождество выполняется автоматически.

Теплота, полученная от нагревателя (где $Q > 0$):

$$Q_{	ext{нагр}} = Q_{12} + Q_{23}$$

(На участке 3→1 газ отдаёт теплоту, так как $Q_{31} < 0$.)

$$Q_{	ext{нагр}} = \frac{3}{2}
u R(T_2 - T_1) + \frac{3}{2}
u R(T_3 - T_2) + \frac{15p_0V_0}{2}$$

$$Q_{	ext{нагр}} = \frac{3}{2}
u R(T_3 - T_1) + \frac{15p_0V_0}{2}$$

**Связь температур через уравнение состояния:**

$$p_1V_1 = 
u RT_1 \Rightarrow T_1 = \frac{p_0V_0}{
u R}$$

$$p_2V_2 = 
u RT_2 \Rightarrow T_2 = \frac{2p_0V_0}{
u R}$$

$$p_3V_3 = 
u RT_3 \Rightarrow T_3 = \frac{3p_0 \cdot 4V_0}{
u R} = \frac{12p_0V_0}{
u R}$$

Подставим в выражение для $Q_{	ext{нагр}}$:

$$Q_{	ext{нагр}} = \frac{3}{2}
u R \left(\frac{12p_0V_0}{
u R} - \frac{p_0V_0}{
u R}ight) + \frac{15p_0V_0}{2}$$

$$Q_{	ext{нагр}} = \frac{3}{2} \cdot 11p_0V_0 + \frac{15p_0V_0}{2} = \frac{33p_0V_0 + 15p_0V_0}{2} = 24p_0V_0$$

Из условия:

$$24p_0V_0 = 1{,}2 \cdot 10^5 	ext{ Дж}$$

$$p_0V_0 = 5000 	ext{ Дж}$$

**Вычисление $T_2$:**

$$T_2 = \frac{2p_0V_0}{
u R} = \frac{2 \cdot 5000}{4 \cdot 8{,}314} = \frac{10000}{33{,}256} \approx 300{,}8 	ext{ К}$$

Округляя: $T_2 \approx 301$ К или $T_2 = 300$ К.

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике