Question

Небольшой кубик массой $m = 1$ кг начинает скользить с нулевой начальной скоростью по гладкой горке, переходящей в «мёртвую петлю» радиусом $R = 2$ м. С какой высоты $H$ был отпущен кубик, если на высоте $h = 2{,}5$ м от нижней точки петли сила давления кубика на стенку петли $F = 5$ Н? Сделайте рисунок с указанием сил, поясняющий решение. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/bg2wTuMIX04CD6GiuGsDq4Igzzanyxi6S6quOHXy.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 1$ кг, $R = 2$ м, $h = 2{,}5$ м, $F = 5$ Н.

Найти: $H$.

**Обоснование модели:** Горка гладкая (трение отсутствует), поэтому механическая энергия сохраняется. Кубик движется по внутренней поверхности петли; в точке на высоте $h$ нормальная сила $N$ направлена от центра петли (радиально наружу). По третьему закону Ньютона сила давления кубика на стенку равна $N$, откуда $N = F = 5$ Н. Размеры кубика пренебрежимо малы, поэтому его можно рассматривать как материальную точку.

**Шаг 1. Связь между скоростью и нормальной силой на высоте $h$.**

На высоте $h$ кубик движется по окружности. Угол $\alpha$ между радиусом и вертикалью определяется геометрией:

$$\cos\alpha = \frac{h - R}{R}$$

Второй закон Ньютона в радиальном направлении (к центру петли):

$$N + mg\cos\alpha = \frac{mv^2}{R}$$

Выразим $v^2$:

$$v^2 = \frac{R(N + mg\cos\alpha)}{m}$$

Подставим $\cos\alpha = \frac{h - R}{R}$:

$$v^2 = \frac{RN}{m} + g(h - R)$$

Используя $N = F$:

$$v^2 = \frac{RF}{m} + g(h - R)$$

**Шаг 2. Применение закона сохранения энергии.**

От начальной высоты $H$ до точки на высоте $h$:

$$mgH = mgh + \frac{mv^2}{2}$$

Разделим на $m$:

$$gH = gh + \frac{v^2}{2}$$

Подставим выражение для $v^2$:

$$gH = gh + \frac{1}{2}\left(\frac{RF}{m} + g(h - R)ight)$$

$$gH = gh + \frac{RF}{2m} + \frac{g(h - R)}{2}$$

$$gH = gh + \frac{g(h - R)}{2} + \frac{RF}{2m}$$

$$gH = \frac{2gh + g(h - R)}{2} + \frac{RF}{2m}$$

$$gH = \frac{g(3h - R)}{2} + \frac{RF}{2m}$$

$$H = \frac{3h - R}{2} + \frac{RF}{2mg}$$

**Шаг 3. Численный расчёт.**

$$H = \frac{3 \cdot 2{,}5 - 2}{2} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1 \cdot 10}$$

$$H = \frac{7{,}5 - 2}{2} + \frac{10}{20}$$

$$H = \frac{5{,}5}{2} + 0{,}5$$

$$H = 2{,}75 + 0{,}5 = 3{,}25 	ext{ м}$$

**Проверка размерности:** $\frac{RF}{2mg}$ имеет размерность $\frac{	ext{м} \cdot 	ext{Н}}{	ext{кг} \cdot 	ext{м/с}^2} = \frac{	ext{м} \cdot 	ext{кг} \cdot 	ext{м/с}^2}{	ext{кг} \cdot 	ext{м/с}^2} = 	ext{м}$ ✓

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике