Question

В колебательном контуре (см. рисунок) индуктивность катушки $L = 6$ мГн. Какой должна быть индуктивность $L_x$ второй катушки, чтобы при переводе ключа К из положения 1 в положение 2 период собственных электромагнитных колебаний в контуре увеличился в $\sqrt{6}$ раза?

![](схема LC-контура с переключателем)

Рисунок

![](схема LC-контура с переключателем)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/nTLk73ZttWiuQAKiP4YY493wMbnNPB87xwwPnHn4.webp)

Accepted Answer

30 мГн

Answer

Дано: $L = 6$ мГн, период увеличивается в $\sqrt{6}$ раз.

Идея решения: период колебаний в LC-контуре зависит от полной индуктивности; при переключении ключа индуктивность изменяется, что приводит к изменению периода.

Период собственных колебаний в LC-контуре определяется формулой:

$$T = 2\pi\sqrt{LC}$$

При положении ключа в позиции 1 в контуре работает только катушка с индуктивностью $L$:

$$T_1 = 2\pi\sqrt{LC}$$

При переводе ключа в позицию 2 в контур включается вторая катушка с индуктивностью $L_x$. Обе катушки соединены последовательно, поэтому полная индуктивность:

$$L_{полн} = L + L_x$$

Новый период:

$$T_2 = 2\pi\sqrt{(L + L_x)C}$$

По условию период увеличился в $\sqrt{6}$ раз:

$$T_2 = \sqrt{6} \cdot T_1$$

Подставим выражения для периодов:

$$2\pi\sqrt{(L + L_x)C} = \sqrt{6} \cdot 2\pi\sqrt{LC}$$

Сократим на $2\pi$ и возведём обе части в квадрат:

$$(L + L_x)C = 6LC$$

$$L + L_x = 6L$$

$$L_x = 5L$$

Подставим численное значение:

$$L_x = 5 \cdot 6 = 30 	ext{ мГн}$$

Проверка размерности: $[L_x] = [L] = $ Гн — верно.

Задание №13Электромагнитные колебания, волны и оптикаЕГЭ по физике