Question

Невесомый стержень АВ длиной $l = 40$ см с двумя малыми грузиками массами $m_1 = 200$ г и $m_2 = 100$ г, расположенными в точках С и В соответственно, шарнирно закреплён в точке А. Груз массой $M$ подвешен к идеальному блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня. Вся система находится в равновесии: стержень отклонён от вертикали на угол $\alpha = 30^{\circ}$ , а нить составляет угол с вертикалью, равный $\beta = 30^{\circ}$ . Расстояние $AC = b = 25$ см. Определите массу груза $M$ . Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз $M$ и стержень. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

**Дано:**
$l = 0{,}40$ м, $m_1 = 0{,}20$ кг, $m_2 = 0{,}10$ кг, $b = 0{,}25$ м, $\alpha = 30^{\circ}$, $\beta = 30^{\circ}$, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить условие равновесия стержня относительно шарнира А, учитывая моменты сил тяжести грузов и натяжения нити.

**Обоснование модели:**
- Стержень невесом и нерастяжим, поэтому его деформацией пренебрегаем.
- Нить идеальна (невесома и нерастяжима), натяжение одинаково по всей длине.
- Блок идеален, поэтому натяжение нити слева и справа от блока одинаково: $T = Mg$.
- Система в равновесии, следовательно, сумма моментов сил относительно шарнира А равна нулю.

**Расчёт:**

На стержень действуют:
- вес груза в точке С: $m_1 g$ (вертикально вниз);
- вес груза в точке В: $m_2 g$ (вертикально вниз);
- натяжение нити в точке В: $T = Mg$ (под углом $\beta$ к вертикали).

Составим уравнение моментов относительно точки А. Плечо силы — перпендикулярное расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Момент от $m_1 g$:
$$M_1 = m_1 g \cdot b \sin\alpha$$

Момент от $m_2 g$:
$$M_2 = m_2 g \cdot l \sin\alpha$$

Момент от натяжения $T$. Нить приложена в точке В и направлена под углом $\beta$ к вертикали. Горизонтальная составляющая натяжения создаёт момент:
$$M_T = T \cdot l \cos(\alpha + \beta) = Mg \cdot l \cos(\alpha + \beta)$$

Условие равновесия (моменты, вращающие стержень против часовой стрелки, уравновешивают моменты по часовой стрелке):
$$m_1 g \cdot b \sin\alpha + m_2 g \cdot l \sin\alpha = Mg \cdot l \cos(\alpha + \beta)$$

Сокращаем на $g$:
$$m_1 b \sin\alpha + m_2 l \sin\alpha = M l \cos(\alpha + \beta)$$

$$M = \frac{(m_1 b + m_2 l) \sin\alpha}{l \cos(\alpha + \beta)}$$

Подставляем значения:
$$\sin 30^{\circ} = 0{,}5, \quad \cos 60^{\circ} = \cos(30^{\circ} + 30^{\circ}) = 0{,}5$$

$$M = \frac{(0{,}20 \cdot 0{,}25 + 0{,}10 \cdot 0{,}40) \cdot 0{,}5}{0{,}40 \cdot 0{,}5}$$

$$M = \frac{(0{,}05 + 0{,}04) \cdot 0{,}5}{0{,}20} = \frac{0{,}09 \cdot 0{,}5}{0{,}20} = \frac{0{,}045}{0{,}20} = 0{,}225 	ext{ кг}$$

**Проверка адекватности:** масса $M = 225$ г разумна — она больше $m_2 = 100$ г, но меньше суммы всех грузов, что соответствует физической картине.

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике