Question

Пластилиновый шарик в момент $t = 0$ бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью $\upsilon_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. Сколько времени проходит от столкновения шариков до их падения на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Accepted Answer

Answer

**Обоснование физической модели:**

Пренебрегаем сопротивлением воздуха (указано в условии), поэтому на каждый шарик действует только сила тяжести. Столкновение абсолютно неупруго означает, что шарики слипаются и движутся как единое тело. Применимы второй закон Ньютона, закон сохранения импульса (система двух шариков изолирована в горизонтальном направлении и по вертикали в момент столкновения) и кинематические уравнения равноускоренного движения.

**Анализ движения до столкновения:**

Первый шарик (брошенный):
- горизонтальная компонента скорости: $v_{1x} = \upsilon_0 \cos\alpha$ (постоянна);
- вертикальная компонента скорости в момент времени $t_1$: $v_{1y} = \upsilon_0 \sin\alpha - gt_1$.

Второй шарик (падающий):
- горизонтальная компонента скорости: $v_{2x} = 0$;
- вертикальная компонента скорости в момент времени $t_1$: $v_{2y} = -gt_1$ (направлена вниз).

После столкновения скорость направлена горизонтально, то есть вертикальная компонента результирующей скорости равна нулю. Применим закон сохранения импульса по вертикали (массы шариков одинаковы, обозначим $m$):

$$m v_{1y} + m v_{2y} = 0$$

$$\upsilon_0 \sin\alpha - gt_1 - gt_1 = 0$$

$$t_1 = \frac{\upsilon_0 \sin\alpha}{2g}$$

**Скорость после столкновения:**

По закону сохранения импульса в горизонтальном направлении:

$$m v_{1x} + m v_{2x} = 2m v_x$$

$$\upsilon_0 \cos\alpha + 0 = 2v_x$$

$$v_x = \frac{\upsilon_0 \cos\alpha}{2}$$

Это горизонтальная скорость объединённого тела сразу после столкновения.

**Высота столкновения:**

Высота первого шарика в момент $t_1$:

$$h_1 = \upsilon_0 \sin\alpha \cdot t_1 - \frac{1}{2}g t_1^2$$

$$h_1 = \upsilon_0 \sin\alpha \cdot \frac{\upsilon_0 \sin\alpha}{2g} - \frac{1}{2}g \left(\frac{\upsilon_0 \sin\alpha}{2g}\right)^2$$

$$h_1 = \frac{\upsilon_0^2 \sin^2\alpha}{2g} - \frac{\upsilon_0^2 \sin^2\alpha}{8g} = \frac{3\upsilon_0^2 \sin^2\alpha}{8g}$$

**Время падения после столкновения:**

После столкновения объединённое тело находится на высоте $h_1$ с горизонтальной скоростью $v_x$ и нулевой вертикальной скоростью. Оно падает под действием силы тяжести:

$$h_1 = \frac{1}{2}g t_2^2$$

$$t_2 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = \sqrt{\frac{2}{g} \cdot \frac{3\upsilon_0^2 \sin^2\alpha}{8g}}$$

$$t_2 = \sqrt{\frac{3\upsilon_0^2 \sin^2\alpha}{4g^2}} = \frac{\upsilon_0 \sin\alpha \sqrt{3}}{2g}$$

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике