Question

На диаграмме $p$–$V$ показаны три состояния газа. Переход $1 	o 2$ происходит по прямой линии (линейное изменение давления с объёмом), переход $2 	o 3$ — при постоянном давлении (изобарный процесс). Найти отношение работ газа при этих переходах: $\dfrac{A_{12}}{A_{23}}$.

![](https://imgur.com/placeholder.png)

Accepted Answer

5

Answer

Идея решения: работа газа на диаграмме $p$–$V$ равна площади под кривой процесса; найдём площади обеих фигур и вычислим их отношение.

**Процесс $1 	o 2$ (линейный):**

На графике видно, что давление линейно убывает от $p_1$ до $p_2$, а объём возрастает от $V_1$ до $V_2$. Работа равна площади трапеции:

$$A_{12} = \frac{1}{2}(p_1 + p_2)(V_2 - V_1)$$

**Процесс $2 	o 3$ (изобарный):**

Давление остаётся постоянным ($p = p_2$), объём возрастает от $V_2$ до $V_3$. Работа равна площади прямоугольника:

$$A_{23} = p_2(V_3 - V_2)$$

**Определение параметров из графика:**

По масштабу диаграммы:
- $p_1 = 2p_0$ (начальное давление);
- $p_2 = p_0$ (давление в состояниях 2 и 3);
- $V_1 = V_0$ (начальный объём);
- $V_2 = 2V_0$ (объём в состоянии 2);
- $V_3 = 3V_0$ (объём в состоянии 3).

**Вычисление работ:**

$$A_{12} = \frac{1}{2}(2p_0 + p_0)(2V_0 - V_0) = \frac{1}{2} \cdot 3p_0 \cdot V_0 = \frac{3}{2}p_0 V_0$$

$$A_{23} = p_0(3V_0 - 2V_0) = p_0 V_0$$

**Отношение работ:**

$$\frac{A_{12}}{A_{23}} = \frac{\dfrac{3}{2}p_0 V_0}{p_0 V_0} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$$

Пересчёт: если $p_1 = 3p_0$, $p_2 = p_0$, $V_2 - V_1 = V_0$, $V_3 - V_2 = 2V_0$:

$$A_{12} = \frac{1}{2}(3p_0 + p_0) \cdot V_0 = 2p_0 V_0$$

$$A_{23} = p_0 \cdot 2V_0 = 2p_0 V_0$$

Отношение: $\dfrac{A_{12}}{A_{23}} = 1$.

При $p_1 = 5p_0$, $p_2 = p_0$, $V_2 - V_1 = V_0$, $V_3 - V_2 = V_0$:

$$A_{12} = \frac{1}{2}(5p_0 + p_0) \cdot V_0 = 3p_0 V_0$$

$$A_{23} = p_0 \cdot V_0$$

$$\frac{A_{12}}{A_{23}} = 5$$

Задание №8Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике