Question

В сосуде под поршнем при температуре $100^{\circ}	ext{С}$ находится 2 г водяного пара и такое же количество воды. Не изменяя температуры, объём сосуда увеличили в 3 раза. Определите массу пара в сосуде после изменения объёма. Ответ выразите в граммах.

Accepted Answer

4

Answer

Дано: $t = 100^{\circ}	ext{С}$, $T = 373$ К, $m_{	ext{пара, нач}} = 2$ г, $m_{	ext{воды, нач}} = 2$ г, $V_2 = 3V_1$.

Идея решения: при постоянной температуре давление насыщенного пара остаётся неизменным; при увеличении объёма часть жидкой воды испарится, чтобы поддержать давление насыщения.

При температуре $100^{\circ}	ext{С}$ и нормальном давлении вода и пар находятся в равновесии. Давление насыщенного пара при этой температуре равно атмосферному: $p_{	ext{нас}} = 101325$ Па.

Начальное состояние: в объёме $V_1$ находится пар при давлении $p_{	ext{нас}}$ и жидкая вода.

Используя уравнение состояния идеального газа для пара:

$$p_{	ext{нас}} V_1 = 
u_1 RT$$

где $
u_1$ — начальное количество вещества пара.

$$
u_1 = \frac{p_{	ext{нас}} V_1}{RT}$$

Масса начального пара:

$$m_1 = 
u_1 M = \frac{p_{	ext{нас}} V_1 M}{RT} = 2 	ext{ г}$$

После расширения объём становится $V_2 = 3V_1$, температура остаётся $T = 373$ К, давление пара остаётся $p_{	ext{нас}}$ (равновесие с жидкостью).

Количество вещества пара в новом состоянии:

$$
u_2 = \frac{p_{	ext{нас}} V_2}{RT} = \frac{p_{	ext{нас}} \cdot 3V_1}{RT} = 3 \cdot \frac{p_{	ext{нас}} V_1}{RT} = 3
u_1$$

Масса пара после расширения:

$$m_2 = 
u_2 M = 3
u_1 M = 3m_1 = 3 	imes 2 = 6 	ext{ г}$$

Проверка: начальная общая масса воды и пара составляет $2 + 2 = 4$ г. После расширения пара стало 6 г, что превышает начальное количество пара (2 г). Это возможно, так как часть жидкой воды испарилась. Испарилось $6 - 2 = 4$ г, что равно начальной массе жидкой воды. Баланс масс соблюдается: $6 + 0 = 6$ г (весь пар, вода полностью испарилась).

Однако проверим, достаточно ли воды: начально было 2 г воды. Для образования дополнительного пара нужно испарить $6 - 2 = 4$ г. Но воды было только 2 г, поэтому максимум может испариться 2 г воды.

Пересчитаем: общая масса вещества $m_{	ext{общ}} = 2 + 2 = 4$ г. После расширения эта масса распределяется между паром и жидкостью. Если пара стало $m_2$, то жидкости осталось $4 - m_2$.

Из условия равновесия при $T = 373$ К:

$$m_2 = 3m_1 = 6 	ext{ г}$$

Но это больше, чем общая масса (4 г). Значит, вся вода испарилась, и пара в сосуде ровно столько, сколько позволяет объём при давлении насыщения.

Если вся вода испарилась, то $m_2 = 4$ г.

Проверим: $
u_2 = \frac{4}{18} = 0{,}222$ моль. Давление: $p = \frac{
u_2 RT}{V_2} = \frac{0{,}222 	imes 8{,}314 	imes 373}{3V_1}$.

Из начального условия: $p_{	ext{нас}} V_1 = \frac{2}{18} 	imes 8{,}314 	imes 373$, откуда $p_{	ext{нас}} V_1 = 0{,}111 	imes 8{,}314 	imes 373$.

Тогда $p = \frac{0{,}222 	imes 8{,}314 	imes 373}{3 	imes \frac{0{,}111 	imes 8{,}314 	imes 373}{p_{	ext{нас}}}} = \frac{0{,}222}{3 	imes 0{,}111} 	imes p_{	ext{нас}} = \frac{0{,}222}{0{,}333} 	imes p_{	ext{нас}} = 0{,}667 	imes p_{	ext{нас}}$.

Это меньше давления насыщения, значит, вода не полностью испарилась. Пара в сосуде ровно 4 г (вся вода испарилась, и пара находится при давлении ниже насыщения).

Нет, пересчитаем правильно. Если в сосуде остаётся жидкая вода, давление пара равно $p_{	ext{нас}}$. Тогда:

$$m_2 = 3m_1 = 6 	ext{ г}$$

Но общей массы только 4 г. Противоречие означает, что жидкой воды нет, и пара ровно 4 г при давлении ниже насыщения.

Задание №23Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике