Question

Квадратная рамка из медного провода с площадью поперечного сечения $S_0 = 0{,}1$ мм² помещена в однородное магнитное поле. На графике показана зависимость проекции $B_n$ вектора магнитной индукции на нормаль к плоскости рамки от времени $t$ . Найти количество теплоты, выделяющейся в рамке за время $\tau = 4$ с. Длина стороны рамки $l = 10$ см, удельное сопротивление меди $\rho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м.

![](https://imgur.com/graph_Bn_vs_t)

Accepted Answer

Answer

Дано: $S_0 = 0{,}1 \cdot 10^{-6}$ м², $l = 0{,}1$ м, $ho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м, $	au = 4$ с.

Идея решения: вычислить индуцированную ЭДС по закону Фарадея, найти сопротивление рамки, затем определить мощность и проинтегрировать её по времени.

**Шаг 1. Площадь рамки и периметр.**

Площадь рамки:
$$A = l^2 = (0{,}1)^2 = 0{,}01 	ext{ м}^2$$

Периметр (длина провода):
$$L = 4l = 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4 	ext{ м}$$

**Шаг 2. Сопротивление рамки.**

$$R = ho \frac{L}{S_0} = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{0{,}4}{0{,}1 \cdot 10^{-6}} = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 4 \cdot 10^{6} = 0{,}068 	ext{ Ом}$$

**Шаг 3. Анализ графика и расчёт ЭДС.**

По графику магнитная индукция изменяется линейно на трёх интервалах:
- $0 \leq t \leq 3$ с: $B_n$ убывает от $0{,}3$ Т до $0$ Т, $\dfrac{dB_n}{dt} = -0{,}1$ Т/с.
- $3 < t \leq 4$ с: $B_n$ убывает от $0$ Т до $-0{,}2$ Т, $\dfrac{dB_n}{dt} = -0{,}2$ Т/с.

Индуцированная ЭДС по закону Фарадея:
$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -A \frac{dB_n}{dt}$$

На интервале $0 \leq t \leq 3$ с:
$$\mathcal{E}_1 = -0{,}01 \cdot (-0{,}1) = 0{,}001 	ext{ В}$$

На интервале $3 < t \leq 4$ с:
$$\mathcal{E}_2 = -0{,}01 \cdot (-0{,}2) = 0{,}002 	ext{ В}$$

**Шаг 4. Мощность и теплота.**

Мощность на каждом интервале:
$$P_1 = \frac{\mathcal{E}_1^2}{R} = \frac{(0{,}001)^2}{0{,}068} = \frac{10^{-6}}{0{,}068} = 1{,}47 \cdot 10^{-5} 	ext{ Вт}$$

$$P_2 = \frac{\mathcal{E}_2^2}{R} = \frac{(0{,}002)^2}{0{,}068} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{0{,}068} = 5{,}88 \cdot 10^{-5} 	ext{ Вт}$$

Теплота на первом интервале (длительность 3 с):
$$Q_1 = P_1 \cdot 3 = 1{,}47 \cdot 10^{-5} \cdot 3 = 4{,}41 \cdot 10^{-5} 	ext{ Дж}$$

Теплота на втором интервале (длительность 1 с):
$$Q_2 = P_2 \cdot 1 = 5{,}88 \cdot 10^{-5} 	ext{ Дж}$$

Общая теплота:
$$Q = Q_1 + Q_2 = 4{,}41 \cdot 10^{-5} + 5{,}88 \cdot 10^{-5} = 10{,}29 \cdot 10^{-5} 	ext{ Дж} \approx 59 	ext{ мкДж}$$

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике