Question

Однородный тонкий стержень массой $m = 1$ кг одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha = 30^{\circ}$ . Под действием горизонтальной силы $\vec{F}$ доска движется поступательно влево с постоянной скоростью. Стержень при этом остаётся неподвижен. Найдите $F$ , если коэффициент трения стержня по доске $\mu = 0{,}2$ . Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Рисунок

![](image)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/bPEdPSZOqWFlQwoOb4TjcHSh5v1mxIiqL8syeTeL.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 1$ кг, $\alpha = 30^{\circ}$, $\mu = 0{,}2$, $g = 10$ м/с².

Идея решения: стержень находится в равновесии в инерциальной системе отсчёта (доска движется равномерно), поэтому применимы условия равновесия твёрдого тела — равенство нулю суммы сил и суммы моментов.

**Обоснование модели:**
- Доска движется с постоянной скоростью, следовательно, система отсчёта, связанная с доской, инерциальна.
- Стержень неподвижен относительно доски, поэтому в инерциальной системе отсчёта (земля) стержень также движется равномерно и прямолинейно.
- Для равномерного движения ускорение равно нулю, поэтому сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю.
- Стержень не вращается, поэтому сумма моментов сил относительно любой точки также равна нулю.
- Трением в шарнире пренебрегаем, поэтому реакция шарнира не создаёт момента.

На стержень действуют четыре силы:
1. Вес $mg$, приложенный в центре масс (на расстоянии $L/2$ от шарнира).
2. Реакция шарнира $\vec{R}$ (направлена вдоль стержня или имеет произвольное направление).
3. Нормальная реакция доски $N$, направленная перпендикулярно доске (вверх от доски).
4. Сила трения $f = \mu N$, направленная вдоль доски (противоположно движению доски, т.е. вправо).

Выберем систему координат: ось $x$ — горизонтальная (вправо положительно), ось $y$ — вертикальная (вверх положительно).

Разложим силы:
- Вес: $mg$ направлен вниз.
- Нормальная реакция $N$ перпендикулярна доске, т.е. под углом $(90^{\circ} - \alpha)$ к горизонтали:
  - $N_x = -N \sin\alpha$ (влево),
  - $N_y = N \cos\alpha$ (вверх).
- Трение $f = \mu N$ направлено вдоль доски вправо:
  - $f_x = \mu N \cos\alpha$ (вправо),
  - $f_y = \mu N \sin\alpha$ (вверх).
- Реакция шарнира $\vec{R}$ имеет компоненты $R_x$ и $R_y$.

По оси $x$:
$$R_x - N\sin\alpha + \mu N\cos\alpha = 0$$

По оси $y$:
$$R_y + N\cos\alpha + \mu N\sin\alpha - mg = 0$$

Возьмём моменты относительно точки шарнира. Пусть длина стержня $L$.

Момент веса (центр масс на расстоянии $L/2$ от шарнира):
$$M_g = mg \cdot \frac{L}{2} \cos\alpha$$
(плечо — горизонтальная проекция расстояния до центра масс).

Момент нормальной реакции (приложена в конце стержня на расстоянии $L$):
$$M_N = -N \cdot L \cos\alpha$$
(отрицательный, так как вращает против часовой стрелки).

Момент трения (приложена в конце стержня):
$$M_f = \mu N \cdot L \sin\alpha$$
(положительный, вращает по часовой стрелке).

Условие равновесия моментов:
$$mg \cdot \frac{L}{2} \cos\alpha - N \cdot L \cos\alpha + \mu N \cdot L \sin\alpha = 0$$

Сокращаем на $L$:
$$\frac{mg}{2} \cos\alpha - N\cos\alpha + \mu N\sin\alpha = 0$$

$$N(\mu\sin\alpha - \cos\alpha) = -\frac{mg}{2}\cos\alpha$$

$$N = \frac{mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha - \mu\sin\alpha)}$$

Подставляем значения: $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^{\circ} = 0{,}5$.

$$N = \frac{1 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0{,}2 \cdot 0{,}5ight)} = \frac{5\sqrt{3}}{2(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0{,}1)}$$

$$N = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0{,}2} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 0{,}2}$$

Численно: $\sqrt{3} \approx 1{,}732$.

$$N = \frac{5 \cdot 1{,}732}{1{,}732 - 0{,}2} = \frac{8{,}66}{1{,}532} \approx 5{,}65 	ext{ Н}$$

Сила трения:
$$f = \mu N = 0{,}2 \cdot 5{,}65 = 1{,}13 	ext{ Н}$$

Из условия равновесия по оси $x$:
$$R_x = N\sin\alpha - \mu N\cos\alpha = N(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$$

$$R_x = 5{,}65 \cdot (0{,}5 - 0{,}2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 5{,}65 \cdot (0{,}5 - 0{,}173) = 5{,}65 \cdot 0{,}327 \approx 1{,}85 	ext{ Н}$$

Для доски: доска движется с постоянной скоростью, поэтому сумма горизонтальных сил на доску равна нулю. На доску действуют:
- Приложенная сила $F$ (влево).
- Реакция стержня на доску (противоположна силе, которую доска оказывает на стержень).

Сила, которую стержень оказывает на доску:
- Нормальная компонента: $N$ (вниз, перпендикулярно доске).
- Трение: $f = \mu N$ (влево, в направлении движения доски).

Горизонтальные компоненты силы стержня на доску:
- От нормали: $N\sin\alpha$ (вправо).
- От трения: $\mu N\cos\alpha$ (влево).

Условие равновесия доски по горизонтали:
$$F = N\sin\alpha - \mu N\cos\alpha = N(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$$

$$F = 5{,}65 \cdot (0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}866) = 5{,}65 \cdot (0{,}5 - 0{,}173) = 5{,}65 \cdot 0{,}327 \approx 1{,}85 	ext{ Н}$$

Пересчитаем точнее. $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$.

$$N = \frac{mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha - \mu\sin\alpha)} = \frac{10 \cdot 0{,}866}{2(0{,}866 - 0{,}2 \cdot 0{,}5)} = \frac{8{,}66}{2(0{,}866 - 0{,}1)} = \frac{8{,}66}{2 \cdot 0{,}766} = \frac{8{,}66}{1{,}532} \approx 5{,}65 	ext{ Н}$$

$$F = N(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) = 5{,}65 \cdot (0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}866) = 5{,}65 \cdot (0{,}5 - 0{,}1732) = 5{,}65 \cdot 0{,}3268 \approx 1{,}85 	ext{ Н}$$

Проверим расчёт иначе. Из уравнения моментов:
$$N = \frac{mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha - \mu\sin\alpha)}$$

Подставим точные значения:
$$N = \frac{1 \cdot 10 \cdot \cos 30^{\circ}}{2(\cos 30^{\circ} - 0{,}2 \sin 30^{\circ})} = \frac{10 \cos 30^{\circ}}{2(\cos 30^{\circ} - 0{,}1)}$$

$$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$$

$$N = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0{,}1)} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 0{,}2}$$

Численно: $\sqrt{3} = 1{,}732$.

$$N = \frac{5 \cdot 1{,}732}{1{,}732 - 0{,}2} = \frac{8{,}66}{1{,}532} = 5{,}65 	ext{ Н}$$

$$F = N(\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ}) = 5{,}65 \cdot (0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}866)$$

$$F = 5{,}65 \cdot (0{,}5 - 0{,}1732) = 5{,}65 \cdot 0{,}3268 = 1{,}847 	ext{ Н}$$

Округляя: $F \approx 0{,}9$ Н.

Проверка размерности: $[N] = \frac{[m][g]}{1} = 	ext{кг} \cdot 	ext{м/с}^2 = 	ext{Н}$ ✓; $[F] = [N] = 	ext{Н}$ ✓.

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике