Question

Для совершения полёта изобретатель массой 60 кг решил использовать воздушные шары, наполненные гелием. Определите минимальное количество шаров, необходимое для подъёма в воздух, если каждый шар можно надувать гелием при нормальном атмосферном давлении до объёма 15 л. Температура окружающего воздуха составляет 27 °С. Массой оболочек шаров и их упругостью, а также силой Архимеда, действующей на самого изобретателя, пренебречь.

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 60$ кг, $V_{	ext{шара}} = 15$ л $= 0{,}015$ м³, $T = 27^{\circ}	ext{С} = 300$ К, $p = 101\,325$ Па (нормальное атмосферное давление), $g = 10$ м/с².

Идея решения: каждый шар создаёт подъёмную силу за счёт разности между весом вытесненного воздуха и весом гелия внутри; найдём эту силу для одного шара, затем определим их количество для преодоления веса изобретателя.

Подъёмная сила одного шара равна разности сил Архимеда, действующих на вытесненный воздух и гелий:

$$F_{	ext{подъ}} = (ho_{	ext{воздуха}} - ho_{	ext{гелия}}) g V_{	ext{шара}}$$

Найдём плотности газов, используя уравнение состояния идеального газа. Для воздуха (молярная масса $M_{	ext{воздуха}} = 29$ г/моль) и гелия ($M_{	ext{гелия}} = 4$ г/моль):

$$ho = \frac{pM}{RT}$$

Плотность воздуха:

$$ho_{	ext{воздуха}} = \frac{101\,325 \cdot 0{,}029}{8{,}314 \cdot 300} = \frac{2938{,}4}{2494{,}2} \approx 1{,}178 	ext{ кг/м}^3$$

Плотность гелия:

$$ho_{	ext{гелия}} = \frac{101\,325 \cdot 0{,}004}{8{,}314 \cdot 300} = \frac{405{,}3}{2494{,}2} \approx 0{,}162 	ext{ кг/м}^3$$

Разность плотностей:

$$\Deltaho = 1{,}178 - 0{,}162 = 1{,}016 	ext{ кг/м}^3$$

Подъёмная сила одного шара:

$$F_{	ext{подъ}} = 1{,}016 \cdot 10 \cdot 0{,}015 = 0{,}1524 	ext{ Н}$$

Вес изобретателя:

$$F_{	ext{вес}} = mg = 60 \cdot 10 = 600 	ext{ Н}$$

Минимальное количество шаров:

$$N = \frac{F_{	ext{вес}}}{F_{	ext{подъ}}} = \frac{600}{0{,}1524} \approx 3937$$

Округляя в большую сторону (так как число шаров должно быть целым), получаем $N \approx 3940$ шаров.

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике