Question

Однородный тонкий стержень массой $m = 1{,}6$ кг одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha = 30^{\circ}$. Под действием горизонтальной силы $\vec{F}$ доска движется поступательно влево с постоянной скоростью. Стержень при этом неподвижен.

![](https://imgur.com/placeholder)

Найдите $F$, если коэффициент трения стержня по доске $\mu = 0{,}3$. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень и доску. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

---

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 1{,}6$ кг, $\alpha = 30^{\circ}$, $\mu = 0{,}3$, $g = 10$ м/с².

Идея решения: поскольку доска движется с постоянной скоростью, а стержень неподвижен относительно доски, система находится в равновесии; применим условия равновесия сил и моментов к стержню, а затем к доске.

**Обоснование модели:**
- Стержень и доска движутся с постоянной скоростью (нулевое ускорение), поэтому применимы законы статики.
- Нить шарнира нерастяжима и невесома; трением в шарнире пренебрегаем.
- Доска массивна, поэтому её ускорение пренебрежимо мало; она движется равномерно.
- Трение между стержнем и доской — кинетическое, так как доска скользит под стержнем.

**Анализ сил на стержень:**

На стержень действуют:
- вес $mg$ (вертикально вниз, приложен в центре масс);
- реакция шарнира $\vec{R}$ (в точке крепления к потолку);
- нормальная сила $N$ от доски (перпендикулярна доске, направлена вверх от поверхности);
- сила трения $f = \mu N$ (вдоль доски, направлена вправо, так как доска движется влево).

Выберем оси: $x$ — горизонтально (вправо), $y$ — вертикально (вверх).

Проекции нормальной силы и трения:
$$N_x = -N \sin\alpha, \quad N_y = N \cos\alpha$$
$$f_x = \mu N \cos\alpha, \quad f_y = \mu N \sin\alpha$$

По оси $x$:
$$R_x - N \sin\alpha + \mu N \cos\alpha = 0$$

По оси $y$:
$$R_y + N \cos\alpha + \mu N \sin\alpha - mg = 0$$

Пусть длина стержня $L$. Центр масс находится на расстоянии $L/2$ от шарнира. Точка контакта с доской — на расстоянии $L$ от шарнира.

Момент веса (по часовой стрелке, если смотреть в плоскость рисунка):
$$M_g = mg \cdot \frac{L}{2} \sin\alpha$$

Момент нормальной силы (против часовой стрелки):
$$M_N = N \cdot L \cos\alpha$$

Момент трения (по часовой стрелке):
$$M_f = \mu N \cdot L \sin\alpha$$

Условие равновесия моментов:
$$N L \cos\alpha = mg \frac{L}{2} \sin\alpha + \mu N L \sin\alpha$$

Сокращаем на $L$:
$$N \cos\alpha = \frac{mg}{2} \sin\alpha + \mu N \sin\alpha$$

$$N (\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = \frac{mg}{2} \sin\alpha$$

$$N = \frac{mg \sin\alpha}{2(\cos\alpha - \mu \sin\alpha)}$$

**Подстановка значений:**

$$\sin 30^{\circ} = 0{,}5, \quad \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$$

$$\cos 30^{\circ} - \mu \sin 30^{\circ} = 0{,}866 - 0{,}3 \cdot 0{,}5 = 0{,}866 - 0{,}15 = 0{,}716$$

$$N = \frac{1{,}6 \cdot 10 \cdot 0{,}5}{2 \cdot 0{,}716} = \frac{8}{1{,}432} \approx 5{,}59 	ext{ Н}$$

**Анализ сил на доску:**

На доску действуют:
- вес доски (не учитываем, так как она массивна и опирается на неподвижную опору);
- приложенная сила $F$ (влево);
- реакция от стержня: нормальная сила $N$ (вниз и влево, под углом $\alpha$ к горизонтали) и трение $\mu N$ (влево, вдоль доски);
- нормальная реакция опоры (вверх);
- трением доски по опоре пренебрегаем.

Горизонтальное равновесие доски:
$$F = N \sin\alpha + \mu N \cos\alpha = N(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$$

$$F = 5{,}59 \cdot (0{,}5 + 0{,}3 \cdot 0{,}866) = 5{,}59 \cdot (0{,}5 + 0{,}260) = 5{,}59 \cdot 0{,}760 \approx 4{,}25 	ext{ Н}$$

$$[F] = [N] \cdot [	ext{безразмерное}] = 	ext{Н}$$

Результат физически разумен: сила порядка нескольких ньютонов требуется для поддержания движения доски с трением.

---

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике