Question

Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой трубкой с краном. Объём каждого сосуда $V = 1$ м³. В первом сосуде находится $
u_1 = 1$ моль гелия при температуре $T_1 = 400$ К; во втором — $
u_2 = 3$ моль аргона при температуре $T_2$. Кран открывают. После установления равновесного состояния давление в сосудах $p = 5{,}4$ кПа. Определите первоначальную температуру аргона $T_2$.

Accepted Answer

Answer

Дано: $V = 1$ м³, $
u_1 = 1$ моль, $T_1 = 400$ К, $
u_2 = 3$ моль, $p = 5{,}4$ кПа $= 5400$ Па, $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К).

Идея решения: система теплоизолирована и не совершает работу, поэтому внутренняя энергия сохраняется; используем закон сохранения энергии и уравнение состояния для равновесного состояния.

**Шаг 1. Закон сохранения внутренней энергии.**

Поскольку система теплоизолирована и газы не совершают внешнюю работу при смешивании, суммарная внутренняя энергия остаётся постоянной:

$$U_{	ext{нач}} = U_{	ext{кон}}$$

$$U_1 + U_2 = U$$

Для одноатомного газа (гелий и аргон — одноатомные):

$$U_1 = \frac{3
u_1 R T_1}{2}$$

$$U_2 = \frac{3
u_2 R T_2}{2}$$

$$U = \frac{3(
u_1 + 
u_2) R T}{2}$$

где $T$ — температура в равновесном состоянии.

**Шаг 2. Составление уравнения энергии.**

$$\frac{3
u_1 R T_1}{2} + \frac{3
u_2 R T_2}{2} = \frac{3(
u_1 + 
u_2) R T}{2}$$

Сокращаем на $\frac{3R}{2}$:

$$
u_1 T_1 + 
u_2 T_2 = (
u_1 + 
u_2) T$$

Выражаем $T_2$:

$$T_2 = \frac{(
u_1 + 
u_2) T - 
u_1 T_1}{
u_2}$$

**Шаг 3. Уравнение состояния для равновесия.**

После открытия крана газы занимают общий объём $2V$ при давлении $p$ и температуре $T$:

$$p \cdot 2V = (
u_1 + 
u_2) R T$$

$$T = \frac{2pV}{(
u_1 + 
u_2) R}$$

**Шаг 4. Подстановка в выражение для $T_2$.**

$$T_2 = \frac{(
u_1 + 
u_2) \cdot \frac{2pV}{(
u_1 + 
u_2) R} - 
u_1 T_1}{
u_2}$$

$$T_2 = \frac{\frac{2pV}{R} - 
u_1 T_1}{
u_2}$$

$$T_2 = \frac{2pV}{
u_2 R} - \frac{
u_1 T_1}{
u_2}$$

**Шаг 5. Численный расчёт.**

$$T_2 = \frac{2 \cdot 5400 \cdot 1}{3 \cdot 8{,}31} - \frac{1 \cdot 400}{3}$$

$$T_2 = \frac{10800}{24{,}93} - \frac{400}{3}$$

$$T_2 = 433{,}0 - 133{,}3 = 299{,}7 \approx 300 	ext{ К}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике