Question

Гелий в количестве $
u = 3$ моль изобарно сжимают, совершая над ним работу $A_1 = 2{,}4$ кДж. При этом температура гелия уменьшается в 4 раза: $T_2 = \frac{T_1}{4}$. Затем газ адиабатически расширяется, при этом его температура изменяется до значения $T_3 = \frac{T_1}{8}$. Найдите работу газа $A_2$ при адиабатном расширении. Количество вещества в процессах остаётся неизменным.

Accepted Answer

Answer

Дано: $
u = 3$ моль, $A_1 = 2{,}4$ кДж, $T_2 = \frac{T_1}{4}$, $T_3 = \frac{T_1}{8}$.

Идея решения: связать работу в изобарном процессе с температурным изменением, затем применить первое начало термодинамики для адиабатного расширения.

**Этап 1. Изобарное сжатие.**

При изобарном процессе работа, совершённая над газом:

$$A_1 = |p\Delta V|$$

По уравнению Менделеева–Клапейрона для изобарного процесса:

$$|p\Delta V| = 
u R(T_1 - T_2)$$

Подставим $T_2 = \frac{T_1}{4}$:

$$A_1 = 
u R\left(T_1 - \frac{T_1}{4}ight) = 
u R \cdot \frac{3T_1}{4}$$

Отсюда:

$$
u R T_1 = \frac{4A_1}{3}$$

**Этап 2. Адиабатное расширение.**

В адиабатном процессе теплообмена нет, поэтому по первому началу термодинамики:

$$\Delta U + A_2 = 0$$

Для гелия (одноатомный газ, $i = 3$):

$$\Delta U = \frac{3}{2}
u R(T_3 - T_2)$$

Следовательно:

$$A_2 = -\Delta U = \frac{3}{2}
u R(T_2 - T_3)$$

Подставим $T_2 = \frac{T_1}{4}$ и $T_3 = \frac{T_1}{8}$:

$$A_2 = \frac{3}{2}
u R\left(\frac{T_1}{4} - \frac{T_1}{8}ight) = \frac{3}{2}
u R \cdot \frac{T_1}{8}$$

$$A_2 = \frac{3}{16}
u R T_1$$

Выразим через $A_1$:

$$A_2 = \frac{3}{16} \cdot \frac{4A_1}{3} = \frac{A_1}{4}$$

$$A_2 = \frac{2400}{4} = 600 	ext{ Дж}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике