Question

Квадрат со стороной $a = 20$ см расположен в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой $D = 2$ дптр так, что две его стороны параллельны плоскости линзы (см. рисунок). Расстояние от дальней стороны квадрата до плоскости линзы $d_1 = 90$ см. Определите площадь изображения квадрата в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение квадрата в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/ycTiwKXU6gfWx7ExUI2P8F2xvfbTGnvF0n0vO1kT.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $a = 20$ см, $D = 2$ дптр, $d_1 = 90$ см.

Идея решения: найти фокусное расстояние линзы, затем применить формулу тонкой линзы для двух противоположных сторон квадрата, чтобы определить размеры оснований трапеции-изображения, и вычислить её площадь.

**Построение изображения:**

Обозначим вершины квадрата как $	ext{ABCD}$. Проведём побочные оптические оси через точки $A$ и $B$, а также луч, параллельный главной оптической оси. После преломления в линзе эти лучи пересекаются в точках, определяющих изображения вершин. Благодаря симметрии предмета относительно главной оси его изображение также симметрично и имеет форму равнобедренной трапеции $A_1B_1C_1D_1$.

**Вычисление фокусного расстояния:**

Из определения оптической силы:

$$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2} = 0{,}5 	ext{ м} = 50 	ext{ см}$$

**Определение расстояний до сторон квадрата:**

Ближняя сторона квадрата находится на расстоянии:

$$d_2 = d_1 - a = 90 - 20 = 70 	ext{ см}$$

**Применение формулы тонкой линзы:**

Для дальней стороны (расстояние $d_1$):

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} \quad \Rightarrow \quad f_1 = \frac{F d_1}{d_1 - F} = \frac{50 \cdot 90}{90 - 50} = \frac{4500}{40} = 112{,}5 	ext{ см}$$

Для ближней стороны (расстояние $d_2$):

$$f_2 = \frac{F d_2}{d_2 - F} = \frac{50 \cdot 70}{70 - 50} = \frac{3500}{20} = 175 	ext{ см}$$

**Высота трапеции:**

$$h = f_2 - f_1 = 175 - 112{,}5 = 62{,}5 	ext{ см}$$

**Размеры оснований трапеции:**

Используя формулу увеличения линзы для дальней стороны:

$$A_1D_1 = \frac{f_1 \cdot a}{d_1} = \frac{112{,}5 \cdot 20}{90} = 25 	ext{ см}$$

Для ближней стороны:

$$B_1C_1 = \frac{f_2 \cdot a}{d_2} = \frac{175 \cdot 20}{70} = 50 	ext{ см}$$

**Площадь трапеции:**

$$S = \frac{A_1D_1 + B_1C_1}{2} \cdot h = \frac{25 + 50}{2} \cdot 62{,}5 = 37{,}5 \cdot 62{,}5 = 2343{,}75 \approx 2344 	ext{ см}^2$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/LqQJvYMtWkLif7h0q8rdxcwWfwfm9Pb1yxi1bQzt.jpg)

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике