Question

Сферическую оболочку воздушного шара наполняют гелием при атмосферном давлении $10^5$ Па. Минимальная масса оболочки, при которой шар начинает поднимать сам себя, равна $m = 500$ кг. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна $0$ °С. Чему равна масса одного квадратного метра материала оболочки шара?

(Площадь сферы $S = 4\pi r^2$ , объём шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ).

(Площадь сферы $S = 4\pi r^2$, объём шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3$).

Accepted Answer

Answer

Дано: $p = 10^5$ Па, $m = 500$ кг, $T = 0$ °С $= 273$ К, $M_{	ext{He}} = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, $M_{	ext{воз}} = 29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К).

Идея решения: найти условие равновесия шара (выталкивающая сила равна весу оболочки и гелия), выразить радиус через массу оболочки, затем найти поверхностную плотность материала.

Выталкивающая сила равна весу вытесненного воздуха:

$$F_{	ext{выт}} = ho_{	ext{воз}} g V = ho_{	ext{воз}} g \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

Вес оболочки и гелия:

$$F_{	ext{тяж}} = (m + m_{	ext{He}})g$$

где $m_{	ext{He}}$ — масса гелия в шаре.

При равновесии:

$$ho_{	ext{воз}} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = m + m_{	ext{He}}$$

Плотность газа при одинаковых давлении и температуре пропорциональна молярной массе:

$$\frac{ho_{	ext{He}}}{ho_{	ext{воз}}} = \frac{M_{	ext{He}}}{M_{	ext{воз}}} = \frac{4}{29}$$

Следовательно:

$$ho_{	ext{He}} = ho_{	ext{воз}} \cdot \frac{4}{29}$$

Масса гелия:

$$m_{	ext{He}} = ho_{	ext{He}} \cdot V = ho_{	ext{воз}} \cdot \frac{4}{29} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

Подставим в условие равновесия:

$$ho_{	ext{воз}} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = m + ho_{	ext{воз}} \cdot \frac{4}{29} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

$$ho_{	ext{воз}} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \left(1 - \frac{4}{29}ight) = m$$

$$ho_{	ext{воз}} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \cdot \frac{25}{29} = m$$

$$r^3 = \frac{29m}{25 \cdot ho_{	ext{воз}} \cdot \frac{4}{3}\pi}$$

Плотность воздуха найдём из уравнения состояния:

$$ho_{	ext{воз}} = \frac{p M_{	ext{воз}}}{RT} = \frac{10^5 \cdot 29 \cdot 10^{-3}}{8{,}31 \cdot 273} = \frac{2900}{2268{,}63} \approx 1{,}279 	ext{ кг/м}^3$$

Вычислим $r^3$:

$$r^3 = \frac{29 \cdot 500}{25 \cdot 1{,}279 \cdot \frac{4}{3}\pi} = \frac{14500}{25 \cdot 1{,}279 \cdot 4{,}189} \approx \frac{14500}{134{,}3} \approx 107{,}9 	ext{ м}^3$$

$$r \approx 4{,}76 	ext{ м}$$

Площадь поверхности:

$$S = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot (4{,}76)^2 \approx 4\pi \cdot 22{,}66 \approx 285 	ext{ м}^2$$

Поверхностная плотность материала:

$$\sigma = \frac{m}{S} = \frac{500}{285} \approx 1{,}75 	ext{ кг/м}^2$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике