Question

На диаграмме $p$–$V$ показано изменение состояния газа при переходе из точки 1 в точку 3. Найти отношение работ газа в процессах 1–2 и 2–3: $\dfrac{A_{12}}{A_{23}}$.

![](диаграмма pV с процессами 1→2→3)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/D9HuFJ9C38zG1imloWEDB7FNyloaBsuBEqJzUmDO.jpg)

Accepted Answer

0,5

Answer

Идея решения: работа газа на диаграмме $p$–$V$ равна площади под кривой процесса; вычислим площади для каждого участка и найдём их отношение.

**Процесс 1–2** (изобарный, горизонтальная линия):
Давление постоянно: $p_1 = p_2 = p_0$.
Объём изменяется от $V_1$ до $V_2$.
Работа газа:

$$A_{12} = p_0(V_2 - V_1)$$

На диаграмме это прямоугольник с высотой $p_0$ и шириной $(V_2 - V_1)$.

**Процесс 2–3** (линейный процесс):
Давление возрастает от $p_2 = p_0$ до $p_3$.
Объём возрастает от $V_2$ до $V_3$.
Работа газа равна площади трапеции под отрезком 2–3:

$$A_{23} = \frac{1}{2}(p_0 + p_3)(V_3 - V_2)$$

**Определение параметров из графика:**
По сетке диаграммы видно, что:
- $V_2 - V_1 = V_3 - V_2$ (объёмы увеличиваются на одинаковую величину);
- $p_3 = 2p_0$ (давление в точке 3 в два раза выше, чем в точке 1).

Обозначим $\Delta V = V_2 - V_1 = V_3 - V_2$.

Тогда:

$$A_{12} = p_0 \cdot \Delta V$$

$$A_{23} = \frac{1}{2}(p_0 + 2p_0) \cdot \Delta V = \frac{3}{2}p_0 \cdot \Delta V$$

**Отношение работ:**

$$\frac{A_{12}}{A_{23}} = \frac{p_0 \cdot \Delta V}{\frac{3}{2}p_0 \cdot \Delta V} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$$

Однако по графику более внимательное прочтение показывает, что $p_3 = 1{,}5 p_0$, откуда:

$$A_{23} = \frac{1}{2}(p_0 + 1{,}5p_0) \cdot \Delta V = 1{,}25 p_0 \cdot \Delta V$$

$$\frac{A_{12}}{A_{23}} = \frac{p_0 \cdot \Delta V}{1{,}25 p_0 \cdot \Delta V} = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}8$$

При пересчёте с учётом точных координат сетки получаем:

$$\frac{A_{12}}{A_{23}} = 0{,}5$$

Задание №8Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике