Question

Алюминиевый шар массой $m = 3$ кг подвешен на нити и полностью погружён в воду. Нить образует с вертикалью угол $\alpha = 30^{\circ}$ . Определите силу, с которой шар действует на нить. Трением шара о стенку пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шар.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/RFMjGGEEzc6wBRCi30tyrEjosvfNEKM1NGpwrg4k.png)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 3$ кг, $\alpha = 30^{\circ}$, $ho = 2700$ кг/м³ (алюминий), $ho_0 = 1000$ кг/м³ (вода), $g = 10$ м/с².

Идея решения: на погруженный в жидкость шар действуют три силы — натяжение нити, вес и выталкивающая сила Архимеда; из условия равновесия найдём натяжение, а по третьему закону Ньютона — силу действия шара на нить.

На шар действуют три силы: натяжение нити $\vec{T}$, сила тяжести $m\vec{g}$ и выталкивающая сила $\vec{F}_A$. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$$\vec{T} + m\vec{g} + \vec{F}_A = 0$$

Проектируя на горизонтальную ось $x$ (перпендикулярно вертикали) и вертикальную ось $y$ (вверх):

$$	ext{Ось } x: \quad N - T\sin\alpha = 0 \quad (1)$$

$$	ext{Ось } y: \quad T\cos\alpha + F_A - mg = 0 \quad (2)$$

где $N$ — нормальная сила от стенки.

Объём шара выражается через его массу и плотность:

$$V = \frac{m}{ho}$$

Выталкивающая сила по закону Архимеда:

$$F_A = ho_0 g V = ho_0 g \frac{m}{ho} = mg\frac{ho_0}{ho}$$

Подставим выражение для $F_A$ в уравнение (2):

$$T\cos\alpha + mg\frac{ho_0}{ho} = mg$$

$$T\cos\alpha = mg\left(1 - \frac{ho_0}{ho}ight) = mg\frac{ho - ho_0}{ho}$$

$$T = \frac{mg(ho - ho_0)}{ho\cos\alpha}$$

По третьему закону Ньютона сила действия шара на нить равна по модулю натяжению:

$$P = T = \frac{mg(ho - ho_0)}{ho\cos\alpha}$$

Проверка размерности: $\frac{	ext{кг} \cdot 	ext{м/с}^2 \cdot 	ext{кг/м}^3}{	ext{кг/м}^3} = 	ext{Н}$ ✓

Подставляем числовые значения:

$$P = \frac{3 \cdot 10 \cdot (2700 - 1000)}{2700 \cdot \cos 30^{\circ}} = \frac{30 \cdot 1700}{2700 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$P = \frac{51000}{2700 \cdot 0{,}866} = \frac{51000}{2338{,}2} \approx 21{,}8 	ext{ Н}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/KFlkgtBberB55koRvl6n2bKtBb9fowcFhVi7Ml1G.png)

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике