Question

В колебательном контуре (см. рис.) индуктивность катушки $L = 12$ мГн. Какой должна быть индуктивность $L_x$ второй катушки, чтобы при переводе ключа К из положения 1 в положение 2 период собственных электромагнитных колебаний в контуре уменьшился в $\sqrt{3}$ раза?

![](схема LC-контура с переключателем)

Рисунок

![](схема LC-контура с переключателем)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/v80Rhg0leNI0honN56Fi0POufVzsgyvqgILlcXDh.webp)

Accepted Answer

4 мГн

Answer

Дано: $L = 12$ мГн, период уменьшается в $\sqrt{3}$ раз.

Идея решения: период колебаний в LC-контуре зависит от полной индуктивности; при переключении ключа индуктивность изменяется, что приводит к изменению периода.

Период собственных колебаний в LC-контуре:

$$T = 2\pi\sqrt{LC}$$

При положении 1 ключа в контуре находится катушка с индуктивностью $L$:

$$T_1 = 2\pi\sqrt{LC}$$

При положении 2 ключа в контуре находятся две катушки. Если они соединены последовательно, полная индуктивность:

$$L_{полн} = L + L_x$$

Новый период:

$$T_2 = 2\pi\sqrt{(L + L_x)C}$$

По условию период уменьшился в $\sqrt{3}$ раз:

$$T_1 = \sqrt{3} \cdot T_2$$

$$2\pi\sqrt{LC} = \sqrt{3} \cdot 2\pi\sqrt{(L + L_x)C}$$

$$\sqrt{L} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{L + L_x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$L = 3(L + L_x)$$

$$L = 3L + 3L_x$$

$$3L_x = L - 3L = -2L$$

$$L_x = -\frac{2L}{3}$$

Отрицательное значение указывает на то, что катушки соединены параллельно. Для параллельного соединения:

$$\frac{1}{L_{полн}} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L_x}$$

$$L_{полн} = \frac{L \cdot L_x}{L + L_x}$$

Подставим условие $T_1 = \sqrt{3} \cdot T_2$:

$$\sqrt{L} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{L \cdot L_x}{L + L_x}}$$

$$L = 3 \cdot \frac{L \cdot L_x}{L + L_x}$$

$$L + L_x = 3L_x$$

$$L = 2L_x$$

$$L_x = \frac{L}{2} = \frac{12}{2} = 6 	ext{ мГн}$$

Проверка: $L_{полн} = \dfrac{12 \cdot 6}{12 + 6} = \dfrac{72}{18} = 4$ мГн.

Отношение периодов: $\dfrac{T_1}{T_2} = \sqrt{\dfrac{L}{L_{полн}}} = \sqrt{\dfrac{12}{4}} = \sqrt{3}$ ✓

Задание №13Электромагнитные колебания, волны и оптикаЕГЭ по физике