Question

По двум горизонтальным параллельным проводящим рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением, замкнутым на последовательно соединённые резистор с сопротивлением $R = 1$ Ом и катушку с индуктивностью $L = 10$ мГн, скользит поступательно и равномерно проводящий стержень. Расстояние между рельсами $l = 10$ см. Рельсы со стержнем находятся в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $B = 1$ Тл. При этом энергия магнитного поля катушки $W$ постоянна и равна $8$ мкДж. Каков модуль скорости движения стержня? Сопротивлением стержня и катушки пренебречь. Рельсы закреплены на диэлектрической подложке.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

0,4

Answer

Дано: $R = 1$ Ом, $L = 10$ мГн $= 10 \cdot 10^{-3}$ Гн, $l = 10$ см $= 0{,}1$ м, $B = 1$ Тл, $W = 8$ мкДж $= 8 \cdot 10^{-6}$ Дж.

Идея решения: поскольку энергия магнитного поля катушки остаётся постоянной, ток в цепи не изменяется со временем, что позволяет найти его из энергии, а затем связать с ЭДС индукции движущегося стержня через закон Ома.

Энергия магнитного поля катушки выражается формулой:

$$W = \frac{LI^2}{2}$$

Отсюда находим ток:

$$I = \sqrt{\frac{2W}{L}}$$

Поскольку ток постоянен, производная тока по времени равна нулю. Согласно закону Фарадея, ЭДС самоиндукции в катушке:

$$\varepsilon_{	ext{с.и.}} = -L\frac{dI}{dt} = 0$$

Следовательно, единственный источник ЭДС в контуре — это ЭДС индукции, возникающая при движении стержня в магнитном поле:

$$\varepsilon_{	ext{инд}} = Blv$$

По закону Ома для однородной цепи (резистор и катушка соединены последовательно, сопротивление катушки пренебрежимо мало):

$$\varepsilon_{	ext{инд}} = IR$$

Приравнивая выражения для ЭДС:

$$Blv = IR$$

Подставляя выражение для тока:

$$Blv = R\sqrt{\frac{2W}{L}}$$

Выражаем скорость:

$$v = \frac{R}{Bl}\sqrt{\frac{2W}{L}}$$

Подставляем численные значения:

$$v = \frac{1}{1 \cdot 0{,}1}\sqrt{\frac{2 \cdot 8 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot 10^{-3}}}$$

$$v = 10\sqrt{\frac{16 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot 10^{-3}}} = 10\sqrt{\frac{16 \cdot 10^{-6}}{10^{-2}}} = 10\sqrt{1{,}6 \cdot 10^{-3}}$$

$$v = 10\sqrt{0{,}0016} = 10 \cdot 0{,}04 = 0{,}4 	ext{ м/с}$$

Задание №23Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике