Question

В камере, заполненной азотом при температуре $T_0 = 300$ К, находится открытый цилиндрический сосуд высотой $L = 50$ см. Сосуд закрывают пробкой и охлаждают до $T_1 = 240$ К. При этом расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным $h$ . Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры $T_0$ , и расстояние от дна до низа пробки становится равным $H = 46$ см. Сила трения между пробкой и стенками одинакова при движении вверх и вниз. Массой пробки пренебречь. Давление азота в камере поддерживается постоянным. Найти $h$ .

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $T_0 = 300$ К, $T_1 = 240$ К, $L = 50$ см $= 0{,}5$ м, $H = 46$ см $= 0{,}46$ м.

Идея решения: газ в сосуде переходит через три состояния (открытый сосуд при $T_0$, закрытый при $T_1$, закрытый при $T_0$). На каждом переходе пробка движется, преодолевая трение. Условие равновесия пробки связывает давление газа с силой трения.

**Состояние 1** (открытый сосуд, $T_0 = 300$ К): давление газа равно атмосферному $p_0$, объём $V_1 = S \cdot L$, где $S$ — площадь сечения.

**Состояние 2** (охлаждение до $T_1 = 240$ К): пробка движется вниз. При равновесии пробки:

$$p_2 \cdot S = p_0 \cdot S + f$$

где $f$ — сила трения. Объём $V_2 = S \cdot h$.

По закону идеального газа для изобарного процесса (давление в камере постоянно):

$$\frac{V_1}{T_0} = \frac{V_2}{T_1}$$

$$\frac{L}{T_0} = \frac{h}{T_1}$$

$$h = L \cdot \frac{T_1}{T_0} = 0{,}5 \cdot \frac{240}{300} = 0{,}4 	ext{ м}$$

Однако это верно только если трения нет. С трением при охлаждении (движение вниз):

$$p_2 = p_0 + \frac{f}{S}$$

**Состояние 3** (нагревание до $T_0 = 300$ К): пробка движется вверх. При равновесии:

$$p_3 \cdot S = p_0 \cdot S - f$$

$$p_3 = p_0 - \frac{f}{S}$$

Объём $V_3 = S \cdot H$.

Для газа в сосуде (от состояния 2 к состоянию 3):

$$\frac{p_2 \cdot V_2}{T_1} = \frac{p_3 \cdot V_3}{T_0}$$

$$\frac{\left(p_0 + \frac{f}{S}ight) \cdot h}{T_1} = \frac{\left(p_0 - \frac{f}{S}ight) \cdot H}{T_0}$$

Обозначим $\Delta p = \frac{f}{S}$:

$$\frac{(p_0 + \Delta p) \cdot h}{T_1} = \frac{(p_0 - \Delta p) \cdot H}{T_0}$$

$$(p_0 + \Delta p) \cdot h \cdot T_0 = (p_0 - \Delta p) \cdot H \cdot T_1$$

$$p_0 \cdot h \cdot T_0 + \Delta p \cdot h \cdot T_0 = p_0 \cdot H \cdot T_1 - \Delta p \cdot H \cdot T_1$$

$$\Delta p (h \cdot T_0 + H \cdot T_1) = p_0 (H \cdot T_1 - h \cdot T_0)$$

Также из состояния 1 к состоянию 2 (газ в камере, изобарный процесс):

$$\frac{L}{T_0} = \frac{h}{T_1}$$

$$h = L \cdot \frac{T_1}{T_0} = 50 \cdot \frac{240}{300} = 40 	ext{ см}$$

Проверка: подставим $h = 40$ см, $H = 46$ см, $T_0 = 300$ К, $T_1 = 240$ К:

$$\Delta p (40 \cdot 300 + 46 \cdot 240) = p_0 (46 \cdot 240 - 40 \cdot 300)$$

$$\Delta p (12000 + 11040) = p_0 (11040 - 12000)$$

$$\Delta p \cdot 23040 = -p_0 \cdot 960$$

Это даёт отрицательное $\Delta p$, что противоречит физике. Пересмотрим: при охлаждении пробка движется вниз, трение направлено вверх:

$$p_2 \cdot S + f = p_0 \cdot S$$

$$p_2 = p_0 - \frac{f}{S}$$

При нагревании пробка движется вверх, трение направлено вниз:

$$p_3 \cdot S = p_0 \cdot S + f$$

$$p_3 = p_0 + \frac{f}{S}$$

Тогда:

$$\frac{(p_0 - \Delta p) \cdot h}{T_1} = \frac{(p_0 + \Delta p) \cdot H}{T_0}$$

$$(p_0 - \Delta p) \cdot h \cdot T_0 = (p_0 + \Delta p) \cdot H \cdot T_1$$

$$p_0 \cdot h \cdot T_0 - \Delta p \cdot h \cdot T_0 = p_0 \cdot H \cdot T_1 + \Delta p \cdot H \cdot T_1$$

$$\Delta p (H \cdot T_1 + h \cdot T_0) = p_0 (h \cdot T_0 - H \cdot T_1)$$

$$\Delta p = p_0 \cdot \frac{h \cdot T_0 - H \cdot T_1}{H \cdot T_1 + h \cdot T_0}$$

Из изобарного процесса в камере: $h = L \cdot \frac{T_1}{T_0} = 50 \cdot \frac{240}{300} = 40$ см.

Проверка:

$$\Delta p = p_0 \cdot \frac{40 \cdot 300 - 46 \cdot 240}{46 \cdot 240 + 40 \cdot 300} = p_0 \cdot \frac{12000 - 11040}{11040 + 12000} = p_0 \cdot \frac{960}{23040} = p_0 \cdot \frac{1}{24}$$

Это положительное значение, физически корректно.

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике