Question

Два шарика с массами $M$ и $m = 60$ г соединены жёстким стержнем пренебрежимо малой массы. Гантель помещена в неподвижную сферическую выемку радиусом $R$ так, что шарик $M$ находится в нижней точке выемки, а шарик $m$ касается стенки выемки на высоте $R$ от нижней точки (см. рис.). Коэффициент трения между шариком $M$ и дном выемки $\mu = 0{,}3$ ; трение между шариком $m$ и стенкой отсутствует. При каких значениях $M$ гантель остаётся в равновесии в показанном положении?

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/MkOW7UqVcPWAElKJtaSqCMpJ3D2G1T4nmaNelaPP.png)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 60$ г $= 0{,}06$ кг, $\mu = 0{,}3$, радиус выемки $R$.

Идея решения: применить условия равновесия (баланс сил и моментов) к жёсткой системе, учитывая ограничение на силу трения в точке контакта шарика $M$ с дном.

**Обоснование модели:**
- Стержень нерастяжим и невесом, поэтому система ведёт себя как твёрдое тело.
- Шарик $M$ находится в контакте с дном выемки (трение присутствует); шарик $m$ касается стенки без трения.
- Система находится в статическом равновесии: сумма сил и сумма моментов равны нулю.

**Анализ сил:**

На шарик $M$ действуют: вес $Mg$ (вниз), нормальная сила дна $N_2$ (вверх), сила трения $F_{	ext{тр}}$ (горизонтально, препятствует скольжению).

На шарик $m$ действуют: вес $mg$ (вниз), нормальная сила стенки $N_1$ (горизонтально, направлена к центру).

**Уравнения равновесия:**

Проекция на вертикальную ось (ось $y$):
$$N_2 - Mg - mg = 0$$

Проекция на горизонтальную ось (ось $x$):
$$F_{	ext{тр}} - N_1 = 0$$

Моменты сил относительно центра $O$ (ось перпендикулярна плоскости чертежа):
- Момент от $F_{	ext{тр}}$: $F_{	ext{тр}} \cdot R$ (против часовой стрелки).
- Момент от $mg$: $mg \cdot R$ (по часовой стрелке).

Условие равновесия моментов:
$$F_{	ext{тр}} \cdot R = mg \cdot R$$

$$F_{	ext{тр}} = mg$$

**Ограничение на трение:**

Максимальная сила трения не превышает:
$$F_{	ext{тр}} \leq \mu N_2$$

Подставляя $F_{	ext{тр}} = mg$ и $N_2 = Mg + mg$:
$$mg \leq \mu(Mg + mg)$$

$$mg \leq \mu Mg + \mu mg$$

$$mg - \mu mg \leq \mu Mg$$

$$m(1 - \mu) \leq \mu M$$

$$M \geq \frac{m(1 - \mu)}{\mu}$$

**Численный расчёт:**

$$M \geq \frac{0{,}06 \cdot (1 - 0{,}3)}{0{,}3} = \frac{0{,}06 \cdot 0{,}7}{0{,}3} = \frac{0{,}042}{0{,}3} = 0{,}14 	ext{ кг} = 140 	ext{ г}$$

**Проверка размерности:** $\frac{[	ext{кг}] \cdot [	ext{безразмерно}]}{[	ext{безразмерно}]} = [	ext{кг}]$ ✓

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/q3VGFab0QfTj55IX030osDXhDYCUeSkEjUqoSOJj.jpg)

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике