Question

Сферическую оболочку воздушного шара изготавливают из материала, квадратный метр которого имеет массу 2 кг. Шар наполняют гелием при атмосферном давлении $10^5$ Па. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар начнёт поднимать сам себя. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна $0$ °С.

Справочные формулы: площадь сферы $S = 4\pi r^2$ , объём шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ .

Справочные формулы: площадь сферы $S = 4\pi r^2$, объём шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Accepted Answer

Answer

Дано: удельная массовая плотность материала оболочки $\sigma = 2$ кг/м², давление $p = 10^5$ Па, температура $T = 273$ К, молярная масса гелия $M_{	ext{He}} = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, молярная масса воздуха $M_{	ext{воз}} = 29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, газовая постоянная $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К).

Идея решения: шар поднимает сам себя, когда архимедова сила равна суммарному весу оболочки и гелия внутри.

Условие равновесия (начало подъёма):

$$F_A = m_{	ext{об}} g + m_{	ext{He}} g$$

где архимедова сила равна весу вытесненного воздуха:

$$F_A = ho_{	ext{воз}} V g$$

Следовательно:

$$ho_{	ext{воз}} V = m_{	ext{об}} + m_{	ext{He}}$$

Масса оболочки связана с площадью поверхности:

$$m_{	ext{об}} = \sigma S = \sigma \cdot 4\pi r^2$$

Плотность воздуха при заданных условиях найдём из уравнения состояния идеального газа:

$$ho_{	ext{воз}} = \frac{pM_{	ext{воз}}}{RT}$$

Подставим численные значения:

$$ho_{	ext{воз}} = \frac{10^5 \cdot 29 \cdot 10^{-3}}{8{,}31 \cdot 273} = \frac{2900}{2268{,}63} \approx 1{,}28 	ext{ кг/м}^3$$

Аналогично для гелия:

$$ho_{	ext{He}} = \frac{pM_{	ext{He}}}{RT} = \frac{10^5 \cdot 4 \cdot 10^{-3}}{8{,}31 \cdot 273} = \frac{400}{2268{,}63} \approx 0{,}176 	ext{ кг/м}^3$$

Масса гелия в шаре:

$$m_{	ext{He}} = ho_{	ext{He}} V = ho_{	ext{He}} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

Подставим в условие равновесия:

$$ho_{	ext{воз}} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \sigma \cdot 4\pi r^2 + ho_{	ext{He}} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

Упростим, разделив на $\frac{4}{3}\pi r^2$:

$$ho_{	ext{воз}} r = 3\sigma + ho_{	ext{He}} r$$

$$r(ho_{	ext{воз}} - ho_{	ext{He}}) = 3\sigma$$

$$r = \frac{3\sigma}{ho_{	ext{воз}} - ho_{	ext{He}}}$$

Вычислим:

$$r = \frac{3 \cdot 2}{1{,}28 - 0{,}176} = \frac{6}{1{,}104} \approx 5{,}43 	ext{ м}$$

Минимальная масса оболочки:

$$m_{	ext{об}} = \sigma \cdot 4\pi r^2 = 2 \cdot 4\pi \cdot (5{,}43)^2 = 8\pi \cdot 29{,}48 \approx 742 	ext{ кг}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике