Question

Однородный тонкий стержень массой $m$ одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha = 30^{\circ}$ . Под действием горизонтальной силы $\vec{F}$ доска движется поступательно влево с постоянной скоростью. Стержень при этом остаётся неподвижен. Найдите массу $m$ , если $F = 2$ Н, а коэффициент трения стержня по доске $\mu = 0{,}2$ . Сделайте рисунок с указанием всех сил, действующих на стержень и доску. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь. Обоснуйте применимость используемых законов.

![](https://imgur.com/placeholder)

---

Accepted Answer

Answer

**Дано:** $F = 2$ Н, $\alpha = 30^{\circ}$, $\mu = 0{,}2$, $g = 10$ м/с².

**Идея решения:** поскольку доска движется с постоянной скоростью, она находится в равновесии; стержень неподвижен относительно доски, поэтому он также в равновесии. Применим условия равновесия для стержня и доски отдельно.

**Обоснование модели:**
- Нить (шарнир) считаем идеальным, трением в нём пренебрегаем.
- Доска движется равномерно (ускорение равно нулю), поэтому равнодействующая всех сил на неё равна нулю.
- Стержень неподвижен в лабораторной системе отсчёта, следовательно, находится в равновесии.
- Применяем второй закон Ньютона (в форме условия равновесия) и условие равновесия моментов.

**Анализ сил на стержень:**

На стержень действуют:
- вес $mg$ (вертикально вниз, приложен в центре масс);
- реакция шарнира $\vec{R}$ (в точке крепления к потолку);
- нормальная сила $N$ от доски (перпендикулярна стержню, направлена от доски);
- сила трения $f = \mu N$ (вдоль стержня, направлена вверх по стержню, так как доска движется влево).

Пусть длина стержня $L$. Моменты сил относительно точки шарнира:
- момент веса: $M_g = mg \cdot \frac{L}{2} \cos\alpha$ (плечо — горизонтальная проекция расстояния до центра масс);
- момент нормальной силы: $M_N = N \cdot L$ (плечо — длина стержня, сила перпендикулярна);
- момент трения: $M_f = f \cdot L \sin\alpha = \mu N L \sin\alpha$ (плечо — вертикальная проекция).

Условие равновесия моментов (против часовой стрелки положительно):

$$N \cdot L = mg \cdot \frac{L}{2} \cos\alpha + \mu N L \sin\alpha$$

Сокращаем на $L$:

$$N = \frac{mg}{2} \cos\alpha + \mu N \sin\alpha$$

$$N(1 - \mu \sin\alpha) = \frac{mg}{2} \cos\alpha$$

$$N = \frac{mg \cos\alpha}{2(1 - \mu \sin\alpha)}$$

**Анализ сил на доску:**

На доску действуют:
- приложенная сила $F$ (влево);
- нормальная сила от стержня $N$ (вдоль стержня, направлена в доску);
- сила трения от стержня $f = \mu N$ (вдоль стержня, направлена вверх по стержню);
- вес доски и нормальная реакция опоры (вертикальные, не влияют на горизонтальное равновесие).

Горизонтальная компонента силы от стержня на доску:
- нормальная сила: $N \sin\alpha$ (влево);
- трение: $\mu N \cos\alpha$ (вправо, так как трение на доску направлено противоположно трению на стержень).

Условие равновесия доски по горизонтали:

$$F = N \sin\alpha - \mu N \cos\alpha$$

$$F = N(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$$

$$N = \frac{F}{\sin\alpha - \mu \cos\alpha}$$

**Приравнивание двух выражений для $N$:**

$$\frac{mg \cos\alpha}{2(1 - \mu \sin\alpha)} = \frac{F}{\sin\alpha - \mu \cos\alpha}$$

$$m = \frac{2F(1 - \mu \sin\alpha)}{g \cos\alpha(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}$$

**Подстановка числовых значений:**

$\sin 30^{\circ} = 0{,}5$, $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$.

$$1 - \mu \sin\alpha = 1 - 0{,}2 \cdot 0{,}5 = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$$

$$\sin\alpha - \mu \cos\alpha = 0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}866 = 0{,}5 - 0{,}1732 = 0{,}3268$$

$$m = \frac{2 \cdot 2 \cdot 0{,}9}{10 \cdot 0{,}866 \cdot 0{,}3268} = \frac{3{,}6}{2{,}831} \approx 1{,}27 	ext{ кг}$$

$$[m] = \frac{[	ext{Н}] \cdot [	ext{безразм}]}{[	ext{м/с}^2] \cdot [	ext{безразм}]} = \frac{	ext{кг·м/с}^2}{	ext{м/с}^2} = 	ext{кг}$$ ✓

---

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике