Question

При полёте между двумя городами с попутным ветром самолёт затрачивает 6 ч. Если ветер дует перпендикулярно маршруту, время полёта составляет 7,5 ч. Скорость самолёта относительно воздуха постоянна и равна 328 км/ч. Найдите скорость ветра.

Accepted Answer

Answer

Дано: $v_{св} = 328$ км/ч, $t_1 = 6$ ч (попутный ветер), $t_2 = 7{,}5$ ч (боковой ветер).

Идея решения: расстояние между городами одинаково в обоих случаях; используем соотношение между путём, скоростью и временем для каждого сценария.

**Случай 1 (попутный ветер):**

Скорость самолёта относительно земли совпадает с суммой скоростей самолёта и ветра:

$$v_1 = v_{св} + v_в$$

Пройденное расстояние:

$$s = (v_{св} + v_в) \cdot t_1 \quad (1)$$

**Случай 2 (боковой ветер):**

Ветер действует перпендикулярно линии полёта. Скорость самолёта относительно земли находится по теореме Пифагора:

$$v_2 = \sqrt{v_{св}^2 - v_в^2}$$

Пройденное расстояние:

$$s = \sqrt{v_{св}^2 - v_в^2} \cdot t_2 \quad (2)$$

**Приравнивание расстояний:**

Так как расстояние одно и то же:

$$(v_{св} + v_в) \cdot t_1 = \sqrt{v_{св}^2 - v_в^2} \cdot t_2$$

Подставим числовые значения:

$$(328 + v_в) \cdot 6 = \sqrt{328^2 - v_в^2} \cdot 7{,}5$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(328 + v_в)^2 \cdot 36 = (328^2 - v_в^2) \cdot 56{,}25$$

Раскроем скобки:

$$36 \cdot 328^2 + 72 \cdot 328 \cdot v_в + 36 \cdot v_в^2 = 56{,}25 \cdot 328^2 - 56{,}25 \cdot v_в^2$$

Перенесём все в левую часть:

$$36 \cdot v_в^2 + 56{,}25 \cdot v_в^2 + 72 \cdot 328 \cdot v_в + 36 \cdot 328^2 - 56{,}25 \cdot 328^2 = 0$$

$$92{,}25 \cdot v_в^2 + 23616 \cdot v_в - 20{,}25 \cdot 328^2 = 0$$

Разделим на 92,25:

$$v_в^2 + 256 \cdot v_в - 2304 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$v_в = \frac{-256 \pm \sqrt{256^2 + 4 \cdot 2304}}{2} = \frac{-256 \pm \sqrt{65536 + 9216}}{2} = \frac{-256 \pm \sqrt{74752}}{2}$$

$$v_в = \frac{-256 \pm 273{,}4}{2}$$

Берём положительный корень:

$$v_в = \frac{-256 + 273{,}4}{2} = \frac{17{,}4}{2} = 72 	ext{ км/ч}$$

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике