Question

По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha = 30^{\circ}$ с горизонтом, скользит из состояния покоя брусок массой $M = 250$ г. В момент, когда брусок прошёл расстояние $x = 3{,}6$ м вдоль плоскости, в него попала и застряла летящая навстречу пуля массой $m$ со скоростью $v = 555$ м/с (направлена вдоль плоскости). После попадания пули брусок поднялся вверх по плоскости на расстояние $S = 2{,}5$ м от места удара. Найдите массу пули. Трением пренебречь. Обоснуйте применимость используемых законов.

Accepted Answer

Answer

Дано: $\alpha = 30^{\circ}$, $M = 0{,}25$ кг, $x = 3{,}6$ м, $v = 555$ м/с, $S = 2{,}5$ м, $g = 10$ м/с².

Идея решения: найти скорость бруска перед ударом, применить закон сохранения импульса при неупругом столкновении, затем использовать закон сохранения энергии для движения после удара.

**Обоснование модели:**
- Плоскость гладкая (трение отсутствует), поэтому при движении бруска до удара действует только составляющая тяжести вдоль плоскости.
- Удар пули о брусок — процесс кратковременный; силы тяжести и нормальной реакции пренебрежимо малы по сравнению с импульсом удара, поэтому применим закон сохранения импульса в направлении вдоль плоскости.
- После удара система (пуля + брусок) движется по гладкой плоскости; энергия сохраняется.

**Шаг 1. Скорость бруска перед ударом.**

Брусок скользит вниз без трения. Ускорение вдоль плоскости:

$$a = g\sin\alpha = 10 \cdot \sin 30^{\circ} = 10 \cdot 0{,}5 = 5 	ext{ м/с}^2$$

Скорость после прохождения расстояния $x$:

$$v_1^2 = 2ax$$

$$v_1 = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 3{,}6} = \sqrt{36} = 6 	ext{ м/с}$$

Брусок движется вниз по плоскости, пуля — вверх (навстречу).

**Шаг 2. Закон сохранения импульса при ударе.**

Выберем положительное направление вверх по плоскости. Тогда:
- импульс пули: $+mv$ (вверх);
- импульс бруска: $-Mv_1$ (вниз).

После неупругого удара система движется с общей скоростью $v_2$ (вверх по плоскости):

$$mv - Mv_1 = (m + M)v_2$$

$$v_2 = \frac{mv - Mv_1}{m + M}$$

**Шаг 3. Закон сохранения энергии после удара.**

После удара система поднимается на расстояние $S$ вверх по плоскости, где скорость обращается в нуль. Высота подъёма: $h = S\sin\alpha$.

Кинетическая энергия сразу после удара переходит в потенциальную:

$$\frac{1}{2}(m + M)v_2^2 = (m + M)gS\sin\alpha$$

$$v_2^2 = 2gS\sin\alpha$$

$$v_2 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{25} = 5 	ext{ м/с}$$

**Шаг 4. Нахождение массы пули.**

Из уравнения импульса:

$$mv - Mv_1 = (m + M)v_2$$

$$mv - Mv_1 = mv_2 + Mv_2$$

$$m(v - v_2) = M(v_1 + v_2)$$

$$m = \frac{M(v_1 + v_2)}{v - v_2}$$

Подставляем числовые значения:

$$m = \frac{0{,}25 \cdot (6 + 5)}{555 - 5} = \frac{0{,}25 \cdot 11}{550} = \frac{2{,}75}{550} = 0{,}005 	ext{ кг} = 5 	ext{ г}$$

$$[m] = \frac{	ext{кг} \cdot 	ext{м/с}}{	ext{м/с}} = 	ext{кг}$$ ✓

**Проверка адекватности:** масса пули (5 г) намного меньше массы бруска (250 г), что физически разумно для пули. Скорость после удара (5 м/с) меньше начальной скорости бруска (6 м/с), что соответствует направлению движения системы вверх по плоскости.

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике