Question

Из медной проволоки с удельным сопротивлением $\rho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м и площадью поперечного сечения $S = 0{,}2$ мм² изготовлен прямоугольный контур KLMN с диагональю KM. Стороны прямоугольника: $KL = l_1 = 20$ см и $LM = l_2 = 15$ см. Контур подключили за диагональ к источнику постоянного напряжения с ЭДС $\varepsilon = 1{,}4$ В и поместили в однородное магнитное поле с индукцией $B = 0{,}1$ Тл, параллельное сторонам KN и LM. Найти результирующую силу, с которой магнитное поле действует на контур. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/5rxEoT3hVHhjjkE6l8NPd0v2hLRUPvbYSTVKUWJx.png)

Accepted Answer

Answer

Дано: $ho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м, $S = 0{,}2 \cdot 10^{-6}$ м², $l_1 = 0{,}2$ м, $l_2 = 0{,}15$ м, $\varepsilon = 1{,}4$ В, $B = 0{,}1$ Тл.

Идея решения: при подключении контура за диагональ возникает разветвлённая цепь с тремя параллельными ветвями; силы Ампера действуют на проводники, перпендикулярные магнитному полю, и складываются геометрически.

**Шаг 1. Анализ цепи.**

При подключении источника между вершинами K и M образуются три параллельные ветви: путь KNM (через сторону KN и NM), путь KLM (через стороны KL и LM) и диагональ KM. По каждой ветви течёт ток:

$$I_1 = \frac{\varepsilon}{R_1}, \quad I_2 = \frac{\varepsilon}{R_2}, \quad I_3 = \frac{\varepsilon}{R_3}$$

где $R_1$, $R_2$, $R_3$ — сопротивления соответствующих участков.

Длины проводников:
- путь KNM: $l_{KN} + l_{NM} = l_1 + l_2$;
- путь KLM: $l_{KL} + l_{LM} = l_1 + l_2$;
- диагональ KM: $l = \sqrt{l_1^2 + l_2^2}$.

Сопротивления:

$$R_1 = R_2 = ho \frac{l_1 + l_2}{S}, \quad R_3 = ho \frac{\sqrt{l_1^2 + l_2^2}}{S}$$

Токи:

$$I_1 = I_2 = \frac{\varepsilon S}{ho(l_1 + l_2)}, \quad I_3 = \frac{\varepsilon S}{ho\sqrt{l_1^2 + l_2^2}}$$

**Шаг 2. Силы Ампера на проводниках.**

Магнитное поле параллельно сторонам KN и LM, поэтому силы действуют только на проводники, перпендикулярные $\vec{B}$: на KL, NM и диагональ KM.

На сторонах KL и NM (длина $l_1$, ток $I_1$):

$$F_1 = F_3 = B I_1 l_1$$

На диагонали KM (длина $l$, ток $I_3$, угол $\alpha$ между KM и направлением поля):

$$\sin\alpha = \frac{l_1}{l} = \frac{l_1}{\sqrt{l_1^2 + l_2^2}}$$

$$F_2 = B I_3 l \sin\alpha = B I_3 l_1$$

По правилу левой руки все три силы направлены в одну сторону (к наблюдателю).

**Шаг 3. Результирующая сила.**

$$F = 2F_1 + F_2 = 2B I_1 l_1 + B I_3 l_1 = B l_1 (2I_1 + I_3)$$

Подставляя выражения для токов:

$$F = B l_1 \left( 2 \cdot \frac{\varepsilon S}{ho(l_1 + l_2)} + \frac{\varepsilon S}{ho\sqrt{l_1^2 + l_2^2}} ight)$$

$$F = \frac{B \varepsilon S l_1}{ho} \left( \frac{2}{l_1 + l_2} + \frac{1}{\sqrt{l_1^2 + l_2^2}} ight)$$

**Шаг 4. Численный расчёт.**

Вычислим слагаемые в скобках:

$$\frac{2}{l_1 + l_2} = \frac{2}{0{,}2 + 0{,}15} = \frac{2}{0{,}35} = 5{,}714 	ext{ м}^{-1}$$

$$\sqrt{l_1^2 + l_2^2} = \sqrt{0{,}2^2 + 0{,}15^2} = \sqrt{0{,}04 + 0{,}0225} = \sqrt{0{,}0625} = 0{,}25 	ext{ м}$$

$$\frac{1}{\sqrt{l_1^2 + l_2^2}} = \frac{1}{0{,}25} = 4 	ext{ м}^{-1}$$

$$\frac{2}{l_1 + l_2} + \frac{1}{\sqrt{l_1^2 + l_2^2}} = 5{,}714 + 4 = 9{,}714 	ext{ м}^{-1}$$

Подставляем в формулу:

$$F = \frac{0{,}1 \cdot 1{,}4 \cdot 0{,}2 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}2}{1{,}7 \cdot 10^{-8}} \cdot 9{,}714$$

$$F = \frac{0{,}1 \cdot 1{,}4 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2}{1{,}7} \cdot 10^{-6+8} \cdot 9{,}714$$

$$F = \frac{0{,}0056}{1{,}7} \cdot 10^{2} \cdot 9{,}714 = 0{,}00329 \cdot 100 \cdot 9{,}714$$

$$F = 0{,}329 \cdot 9{,}714 = 3{,}2 	ext{ Н}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/pp8kBySIgRS1nqiH3WYnsEvn7cmscdQLXkvbN7QA.webp)

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике