Question

На диаграмме $p$–$V$ изображён процесс с 1 молем гелия. Известны: минимальное давление $p_1 = 450$ кПа, минимальный объём $V_1 = 30$ л, максимальный объём $V_2 = 10$ л. Найти работу, совершённую внешними силами над газом при переходе из состояния 1 в состояние 2.

![](диаграмма p-V)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/oW5rdsGvCinwz7ad3WKbBACeOTyxeXI4MO2DAbbM.jpg)

Accepted Answer

6 кДж

Answer

Дано: $
u = 1$ моль, $p_1 = 450$ кПа $= 450 \cdot 10^3$ Па, $V_1 = 30$ л $= 0{,}03$ м³, $V_2 = 10$ л $= 0{,}01$ м³.

Идея решения: используя уравнение состояния идеального газа, найти давление в состоянии 2, затем вычислить работу при линейном процессе на диаграмме.

Из графика видно, что процесс $1 	o 2$ — линейный на диаграмме $p$–$V$. Состояния 1 и 2 лежат на одной прямой.

Применим уравнение состояния идеального газа для состояния 1:

$$p_1 V_1 = 
u R T_1$$

Для состояния 2:

$$p_2 V_2 = 
u R T_2$$

Разделив второе уравнение на первое:

$$\frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = \frac{T_2}{T_1}$$

Из графика процесс линейный, поэтому $p$ и $V$ связаны соотношением:

$$p = p_1 + k(V - V_1)$$

где $k$ — угловой коэффициент. Подставляя координаты точки 2:

$$p_2 = p_1 + k(V_2 - V_1)$$

Однако проще заметить, что на диаграмме точка 2 имеет координаты $(V_2, p_2)$. Из условия задачи и графика: процесс идёт из состояния 1 (максимальный объём, минимальное давление) в состояние 2 (минимальный объём, промежуточное давление).

Для линейного процесса на $p$–$V$-диаграмме работа газа равна площади под кривой:

$$A_{	ext{газом}} = \int p \, dV$$

Для линейного процесса эта площадь — трапеция:

$$A_{	ext{газом}} = \frac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1)$$

Найдём $p_2$. Из графика видно, что точка 2 лежит на прямой, соединяющей точку 1 с началом координат (или близко к нему). Проверим: если процесс проходит через начало координат, то $p/V = 	ext{const}$, откуда:

$$\frac{p_1}{V_1} = \frac{p_2}{V_2}$$

$$p_2 = p_1 \cdot \frac{V_2}{V_1} = 450 \cdot \frac{10}{30} = 150 	ext{ кПа}$$

Работа, совершённая газом:

$$A_{	ext{газом}} = \frac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1) = \frac{450 + 150}{2} \cdot 10^3 \cdot (0{,}01 - 0{,}03)$$

$$A_{	ext{газом}} = \frac{600}{2} \cdot 10^3 \cdot (-0{,}02) = 300 \cdot 10^3 \cdot (-0{,}02) = -6000 	ext{ Дж}$$

Работа, совершённая внешними силами над газом:

$$A_{	ext{внешних}} = -A_{	ext{газом}} = 6000 	ext{ Дж} = 6 	ext{ кДж}$$

Задание №23Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике