Question

Плоская монохроматическая световая волна с частотой $
u = 8{,}0 \cdot 10^{14}$ Гц падает по нормали на дифракционную решётку. Позади решётки параллельно ей расположена собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 21$ см. Дифракционная картина наблюдается на экране в задней фокальной плоскости линзы. Расстояние между главными максимумами 1-го и 2-го порядков составляет $a = 18$ мм. Найдите период решётки. Ответ выразите в микрометрах, округлив до десятых. Для малых углов считать $\sin\varphi \approx \operatorname{tg}\varphi \approx \varphi$.

Accepted Answer

4,4

Answer

Дано: $
u = 8{,}0 \cdot 10^{14}$ Гц, $F = 0{,}21$ м, $a = 0{,}018$ м, $k_1 = 1$, $k_2 = 2$.

Идея решения: применить условие дифракционного максимума и связь угла дифракции с положением максимума на экране через фокусное расстояние линзы.

При дифракции на решётке главные максимумы возникают при условии:

$$d\sin\varphi = k\lambda$$

где $d$ — период решётки, $k$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны.

Для малых углов $\sin\varphi \approx \operatorname{tg}\varphi = \frac{l}{F}$, где $l$ — расстояние от центра экрана до $k$-го максимума, $F$ — фокусное расстояние линзы.

Подставляя приближение в условие максимума:

$$\frac{k\lambda}{d} = \frac{l}{F} \quad \Rightarrow \quad l = \frac{k\lambda F}{d}$$

Расстояние между максимумами 1-го и 2-го порядков:

$$a = l_2 - l_1 = \frac{k_2 \lambda F}{d} - \frac{k_1 \lambda F}{d} = \frac{\lambda F(k_2 - k_1)}{d}$$

Выражаем период решётки:

$$d = \frac{\lambda F(k_2 - k_1)}{a}$$

Длина волны связана с частотой соотношением:

$$\lambda = \frac{c}{
u}$$

Подставляя выражение для $\lambda$:

$$d = \frac{cF(k_2 - k_1)}{
u a}$$

Численная подстановка:

$$d = \frac{3 \cdot 10^8 \cdot 0{,}21 \cdot (2 - 1)}{8{,}0 \cdot 10^{14} \cdot 0{,}018} = \frac{6{,}3 \cdot 10^7}{1{,}44 \cdot 10^{13}} = 4{,}375 \cdot 10^{-6} 	ext{ м}$$

Округляя до десятых микрометра:

$$d \approx 4{,}4 	ext{ мкм}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/xcEQTQ7Cu54AyabpsAHahVj2aYgfOGTEb4g4WOJn.jpg)

Задание №23Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике