Question

Воздушный шар с оболочкой массой $M = 145$ кг и объёмом $V = 230$ м³ наполняется при нормальном атмосферном давлении горячим воздухом, нагретым до температуры $t = 265$ °С. Оболочка нерастяжима и имеет небольшое отверстие в нижней части. Найдите максимальную температуру $t_0$ окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься.

![](https://imgur.com/placeholder_balloon.png)

Accepted Answer

Answer

Дано: $M = 145$ кг, $V = 230$ м³, $t = 265$ °С, $p = 10^5$ Па (нормальное давление), $\mu = 29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К).

Идея решения: шар начнёт подниматься, когда архимедова сила уравновесит вес оболочки и воздуха внутри; используя уравнение состояния идеального газа, выразим плотности воздуха через температуры и найдём предельное условие.

Условие подъёма шара:

$$F_{	ext{арх}} \geq Mg + mg$$

где $m$ — масса воздуха внутри оболочки. Через плотности:

$$ho_0 gV \geq Mg + ho gV$$

откуда:

$$ho_0 V \geq M + ho V$$

Здесь $ho_0$ — плотность окружающего воздуха, $ho$ — плотность воздуха внутри оболочки.

Из уравнения состояния идеального газа для воздуха внутри шара:

$$\frac{pV}{T} = \frac{m}{\mu}R \quad \Rightarrow \quad ho = \frac{m}{V} = \frac{p\mu}{RT}$$

Аналогично для окружающего воздуха:

$$ho_0 = \frac{p\mu}{RT_0}$$

Подставим в условие подъёма:

$$\frac{p\mu V}{RT_0} \geq M + \frac{p\mu V}{RT}$$

Перепишем:

$$\frac{p\mu V}{RT} = \frac{p\mu V}{RT_{0	ext{max}}} - M$$

Разделим обе части на $p\mu V$:

$$\frac{1}{T} = \frac{1}{T_{0	ext{max}}} - \frac{MR}{p\mu V}$$

Отсюда:

$$\frac{1}{T_{0	ext{max}}} = \frac{1}{T} + \frac{MR}{p\mu V}$$

Следовательно:

$$T_{0	ext{max}} = \frac{1}{\dfrac{1}{T} + \dfrac{MR}{p\mu V}} = \frac{p\mu VT}{p\mu V + MRT}$$

Переведём температуру горячего воздуха в кельвины: $T = 265 + 273 = 538$ К.

Подставим численные значения:

$$T_{0	ext{max}} = \frac{29 \cdot 10^{-3} \cdot 10^5 \cdot 230 \cdot 538}{29 \cdot 10^{-3} \cdot 10^5 \cdot 230 + 145 \cdot 8{,}31 \cdot 538}$$

Числитель: $29 \cdot 10^{-3} \cdot 10^5 \cdot 230 \cdot 538 = 2{,}9 \cdot 10^2 \cdot 230 \cdot 538 = 3{,}59 \cdot 10^7$ Дж.

Знаменатель: $29 \cdot 10^{-3} \cdot 10^5 \cdot 230 + 145 \cdot 8{,}31 \cdot 538 = 6{,}67 \cdot 10^5 + 6{,}48 \cdot 10^4 = 7{,}32 \cdot 10^5$ Дж/К.

$$T_{0	ext{max}} = \frac{3{,}59 \cdot 10^7}{7{,}32 \cdot 10^5} \approx 273 	ext{ К}$$

Переведём в градусы Цельсия: $t_0 = 273 - 273 = 0$ °С.

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике