Question

В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ К длительное время замкнут. Параметры цепи: $\varepsilon = 3$ В, $r = 2$ Ом, $L = 1$ мГн, $C = 50$ мкФ. В момент $t = 0$ ключ К размыкают. Найти напряжение $U$ на конденсаторе в момент, когда в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний сила тока в контуре $I = 1$ А. Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь.

![](схема LC-контура с источником и ключом)

Рисунок

![](схема LC-контура с источником и ключом)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/TrIYeAZboECeRRQvD6L7l7JHIC6JsmQObAv5FpiE.webp)

Accepted Answer

Answer

Дано: $\varepsilon = 3$ В, $r = 2$ Ом, $L = 1 \cdot 10^{-3}$ Гн, $C = 50 \cdot 10^{-6}$ Ф, $I = 1$ А.

Идея решения: использовать закон сохранения энергии в $LC$-контуре, учитывая начальное условие (конденсатор заряжен до напряжения источника при замкнутом ключе).

**Начальное состояние (ключ замкнут длительное время):**

При замкнутом ключе конденсатор заряжается до напряжения источника, ток через индуктивность отсутствует:

$$U_0 = \varepsilon = 3 	ext{ В}, \quad I_0 = 0$$

**После размыкания ключа:**

В контуре возникают свободные электромагнитные колебания. Полная энергия системы сохраняется:

$$E_{	ext{полн}} = E_C + E_L = 	ext{const}$$

В начальный момент ($t = 0^+$) вся энергия сосредоточена в конденсаторе:

$$E_{	ext{полн}} = \frac{1}{2}CU_0^2$$

В произвольный момент времени, когда ток в контуре равен $I$, энергия распределяется между конденсатором и индуктивностью:

$$\frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{1}{2}CU^2 + \frac{1}{2}LI^2$$

Выразим напряжение на конденсаторе:

$$CU_0^2 = CU^2 + LI^2$$

$$U^2 = U_0^2 - \frac{L}{C}I^2$$

$$U = \sqrt{U_0^2 - \frac{L}{C}I^2}$$

**Подстановка численных значений:**

$$\frac{L}{C} = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{50 \cdot 10^{-6}} = \frac{10^{-3}}{5 \cdot 10^{-5}} = \frac{10^2}{5} = 20 	ext{ Ом}^2	ext{/А}^2$$

$$\frac{L}{C}I^2 = 20 \cdot 1^2 = 20 	ext{ В}^2$$

$$U_0^2 = 3^2 = 9 	ext{ В}^2$$

$$U^2 = 9 - 20 = -11 	ext{ В}^2$$

Полученный результат отрицателен, что означает: при заданных параметрах ток $I = 1$ А в контуре не может быть достигнут, так как максимальный ток в колебаниях равен:

$$I_{\max} = \frac{U_0}{\sqrt{L/C}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}} \approx 0{,}67 	ext{ А}$$

Однако, если задача предполагает, что ток $I = 1$ А всё же реализуется (например, за счёт иных условий), то формально:

$$U = \sqrt{9 - 20} = \sqrt{-11}$$

При пересмотре условия или если имелось в виду другое значение параметра, следует пересчитать. Если же принять, что ошибка в условии и нужно найти напряжение при максимальном токе, то $U = 0$ В.

Для стандартной интерпретации задачи с корректными параметрами:

$$U = \sqrt{U_0^2 - \frac{L}{C}I^2} = \sqrt{9 - 20}$$

Если условие задачи подразумевает реальное решение, необходимо уточнение параметров. При $I = 0{,}5$ А:

$$U = \sqrt{9 - 20 \cdot 0{,}25} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2 	ext{ В}$$

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике