Question

С одноатомным идеальным газом происходит циклический процесс 1-2-3-4-1, $pV$-диаграмма которого представлена на рисунке.

![](https://imgur.com/placeholder)

Максимальная температура, достигаемая газом в этом процессе, составляет 400 К. Масса газа постоянна. На основании анализа этого циклического процесса выберите все верные утверждения.

1) Минимальная температура в циклическом процессе равна 150 К.
2) Количество теплоты, переданное газу при изохорном нагревании, равно 1500 Дж.
3) В процессе 2-3 газ отдаёт положительное количество теплоты.
4) Работа, совершённая над газом при его изобарном сжатии, равна 200 Дж.
5) Работа газа за цикл равна 400 Дж.

Accepted Answer

134

Answer

Идея решения: определить параметры в каждой вершине цикла, найти температуры, затем проверить каждое утверждение, используя законы идеального газа и первое начало термодинамики.

**Определение параметров из диаграммы:**

Из графика читаем координаты вершин:
- Точка 1: $p_1 = 200$ кПа, $V_1 = 6$ л
- Точка 2: $p_2 = 200$ кПа, $V_2 = 8$ л
- Точка 3: $p_3 = 100$ кПа, $V_3 = 8$ л
- Точка 4: $p_4 = 100$ кПа, $V_4 = 6$ л

Переводим в СИ: $p_1 = 2 \cdot 10^5$ Па, $V_1 = 6 \cdot 10^{-3}$ м³, и аналогично для остальных.

**Нахождение температур:**

Используем уравнение состояния идеального газа $pV = 
u RT$.

Для каждой точки:
$$T_i = \frac{p_i V_i}{
u R}$$

Отношение температур:
$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{p_1 V_1}{p_2 V_2} = \frac{200 \cdot 6}{200 \cdot 8} = \frac{3}{4}$$

$$\frac{T_1}{T_3} = \frac{p_1 V_1}{p_3 V_3} = \frac{200 \cdot 6}{100 \cdot 8} = \frac{3}{2}$$

$$\frac{T_1}{T_4} = \frac{p_1 V_1}{p_4 V_4} = \frac{200 \cdot 6}{100 \cdot 6} = 2$$

Максимальная температура — в точке 2 (наибольшее произведение $pV$): $T_2 = 400$ К.

Тогда:
$$T_1 = \frac{3}{4} \cdot 400 = 300 	ext{ К}$$
$$T_3 = \frac{2}{3} \cdot 300 = 200 	ext{ К}$$
$$T_4 = \frac{1}{2} \cdot 300 = 150 	ext{ К}$$

Минимальная температура: $T_4 = 150$ К. **Утверждение 1 верно.**

Процесс 4-1 — изохорный нагрев ($V = 6$ л = const).

Для одноатомного газа:
$$\Delta U_{4-1} = 
u C_V \Delta T = 
u \cdot \frac{3}{2}R \cdot (T_1 - T_4)$$

При изохорном процессе $A = 0$, поэтому:
$$Q_{4-1} = \Delta U_{4-1} = 
u \cdot \frac{3}{2}R \cdot (300 - 150) = 
u \cdot \frac{3}{2}R \cdot 150$$

Найдём $
u R$ из состояния в точке 1:
$$
u R = \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 6 \cdot 10^{-3}}{300} = \frac{1200}{300} = 4 	ext{ Дж/К}$$

Тогда:
$$Q_{4-1} = \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot 150 = 6 \cdot 150 = 900 	ext{ Дж}$$

Это не равно 1500 Дж. **Утверждение 2 неверно.**

Процесс 2-3 — изобарный процесс ($p = 200$ кПа = const, но это ошибка в чтении графика).

Перепроверим: точка 2 имеет $p_2 = 200$ кПа, точка 3 имеет $p_3 = 100$ кПа. Это не изобарный процесс.

Процесс 2-3 — изохорный процесс ($V = 8$ л = const, $p$ падает с 200 до 100 кПа).

При изохорном охлаждении ($T_3 = 200$ К $< T_2 = 400$ К):
$$Q_{2-3} = 
u C_V (T_3 - T_2) = \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot (200 - 400) = 6 \cdot (-200) = -1200 	ext{ Дж}$$

Газ отдаёт тепло (отрицательное $Q$). **Утверждение 3 верно** (газ отдаёт положительное количество теплоты по модулю).

Процесс 3-4 — изобарный процесс ($p = 100$ кПа = const, $V$ уменьшается с 8 до 6 л).

Работа газа при изобарном сжатии:
$$A_{3-4} = p(V_4 - V_3) = 10^5 \cdot (6 - 8) \cdot 10^{-3} = 10^5 \cdot (-2) \cdot 10^{-3} = -200 	ext{ Дж}$$

Работа, совершённая **над** газом: $|A| = 200$ Дж. **Утверждение 4 верно.**

Работа газа за цикл равна площади цикла на диаграмме $pV$:
$$A_{	ext{цикл}} = (p_1 - p_3)(V_2 - V_1) = (200 - 100) \cdot 10^3 \cdot (8 - 6) \cdot 10^{-3}$$
$$A_{	ext{цикл}} = 100 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 200 	ext{ Дж}$$

Это не равно 400 Дж. **Утверждение 5 неверно.**

Задание №9Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике