Question

Деревянный шар привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с площадью дна $S = 100$ см². В сосуд наливают воду так, что шар полностью погружается в жидкость, при этом нить натягивается и действует на шар с силой $T$. Если нить перерезать, то шар всплывёт, а уровень воды изменится на $h = 5$ см. Найдите силу натяжения нити $T$. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Accepted Answer

Answer

Дано: $S = 100$ см² $= 0{,}01$ м², $h = 5$ см $= 0{,}05$ м, $ho = 1000$ кг/м³, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить условие равновесия шара в двух состояниях (с натянутой нитью и после её разрезания), затем связать изменение объёма погруженной части с изменением уровня воды.

**Обоснование модели:** считаем шар абсолютно твёрдым, нить нерастяжимой и невесомой, воду несжимаемой. Процесс всплытия происходит квазистатически, так что в каждый момент шар находится в равновесии. Трением и вязкостью пренебрегаем.

**Состояние 1 (шар привязан ко дну):**

На шар действуют три силы: сила тяжести $mg$ (вниз), выталкивающая сила Архимеда $F_{а1} = ho g V$ (вверх) и натяжение нити $T$ (вниз). Условие равновесия в проекции на вертикальную ось:

$$F_{а1} - mg - T = 0$$

$$ho g V - mg - T = 0 \quad (1)$$

где $V$ — объём шара.

**Состояние 2 (нить перерезана, шар всплывает):**

После разрезания нити шар всплывает и плавает на поверхности. На него действуют сила тяжести $mg$ (вниз) и выталкивающая сила $F_{а2} = ho g V_1$ (вверх), где $V_1$ — объём погруженной части. Условие равновесия:

$$F_{а2} - mg = 0$$

$$ho g V_1 - mg = 0 \quad (2)$$

**Связь между объёмами и изменением уровня:**

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$$ho g V - mg - T - (ho g V_1 - mg) = 0$$

$$ho g (V - V_1) = T \quad (3)$$

Разность объёмов $V - V_1$ равна объёму вытесненной воды, который вышел из сосуда при всплытии шара. Этот объём связан с изменением уровня воды:

$$V - V_1 = S h \quad (4)$$

Подставим (4) в (3):

$$T = ho g S h$$

$$[T] = \frac{	ext{кг}}{	ext{м}^3} \cdot \frac{	ext{м}}{	ext{с}^2} \cdot 	ext{м}^2 \cdot 	ext{м} = \frac{	ext{кг} \cdot 	ext{м}}{	ext{с}^2} = 	ext{Н} \quad \checkmark$$

**Численный расчёт:**

$$T = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}05 = 1000 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 5 	ext{ Н}$$

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике