Question

В закрытом сосуде постоянного объёма находился воздух при нормальных условиях. Его нагрели электрическим нагревателем, сила тока в котором $I = 2$ А при напряжении $U = 100$ В. КПД нагревателя равен $13\%$. Через $t = 10$ мин давление в сосуде повысилось до $p_2 = 4 \cdot 10^5$ Па. Чему равен объём сосуда? В данном процессе удельная теплоёмкость воздуха $c = 716$ Дж/(кг·К), а его плотность при нормальных условиях $\rho = 1{,}29$ кг/м³. Потерями тепла в окружающую среду пренебречь.

Accepted Answer

Answer

Дано: $I = 2$ А, $U = 100$ В, $\eta = 0{,}13$, $t = 10$ мин $= 600$ с, $p_2 = 4 \cdot 10^5$ Па, $c = 716$ Дж/(кг·К), $ho = 1{,}29$ кг/м³, $p_1 = 10^5$ Па (нормальное давление), $T_1 = 273$ К.

Идея решения: применить закон для изохорного процесса, связать полученное тепло с работой электронагревателя через КПД, выразить объём.

Поскольку объём сосуда постоянен, процесс нагревания является изохорным. Для такого процесса справедливо соотношение:

$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}$$

Отсюда конечная температура воздуха:

$$T_2 = \frac{p_2}{p_1} T_1$$

Количество теплоты, полученное воздухом:

$$Q = c m \Delta T = c m (T_2 - T_1) = c ho V (T_2 - T_1)$$

Подставим выражение для $T_2$:

$$Q = c ho V \left(\frac{p_2}{p_1} T_1 - T_1ight) = c ho V T_1 \left(\frac{p_2 - p_1}{p_1}ight)$$

Электрическая работа, совершённая нагревателем:

$$A = U I t$$

КПД нагревателя связывает полезное тепло с затраченной работой:

$$\eta = \frac{Q}{A}$$

Подставим выражения для $Q$ и $A$:

$$\eta = \frac{c ho V T_1 (p_2 - p_1)}{p_1 U I t}$$

Выразим объём:

$$V = \frac{\eta p_1 U I t}{c ho T_1 (p_2 - p_1)}$$

Подставим численные значения:

$$V = \frac{0{,}13 \cdot 10^5 \cdot 100 \cdot 2 \cdot 600}{716 \cdot 1{,}29 \cdot 273 \cdot (4 \cdot 10^5 - 10^5)}$$

$$V = \frac{0{,}13 \cdot 10^5 \cdot 100 \cdot 2 \cdot 600}{716 \cdot 1{,}29 \cdot 273 \cdot 3 \cdot 10^5}$$

$$V = \frac{0{,}13 \cdot 100 \cdot 2 \cdot 600}{716 \cdot 1{,}29 \cdot 273 \cdot 3}$$

$$V = \frac{15600}{716 \cdot 1{,}29 \cdot 273 \cdot 3} = \frac{15600}{759840} \approx 0{,}021 	ext{ м}^3$$

Задание №25Электродинамика: поля и токиЕГЭ по физике