Question

Снаряд разорвался в полёте на две равные части, одна из которых продолжила движение в направлении движения снаряда, а другая — в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличилась за счёт энергии взрыва на величину $\Delta E = 600$ кДж. Модуль скорости осколка, летящего по направлению движения снаряда, равен $v_1 = 900$ м/с, а модуль скорости второго осколка — $v_2 = 100$ м/с. Найдите массу снаряда. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Accepted Answer

Answer

Дано: $\Delta E = 600$ кДж $= 6 \cdot 10^5$ Дж, $v_1 = 900$ м/с, $v_2 = 100$ м/с, осколки имеют равные массы.

Идея решения: применить закон сохранения импульса (взрыв — внутренний процесс, внешние силы пренебрежимо малы) и связь между энергией взрыва и кинетическими энергиями осколков.

**Обоснование модели:**
- Время взрыва ничтожно мало, поэтому импульс силы тяжести за этот промежуток пренебрежимо мал по сравнению с импульсом внутренних сил взрыва. Закон сохранения импульса применим.
- Энергия взрыва переходит в кинетическую энергию осколков; сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Обозначим массу снаряда $M$, массу каждого осколка $m = M/2$. Пусть скорость снаряда до разрыва $v_0$ (направим её вдоль положительной оси).

**Закон сохранения импульса:**

$$Mv_0 = m v_1 + m(-v_2)$$

$$Mv_0 = \frac{M}{2}(v_1 - v_2)$$

$$v_0 = \frac{v_1 - v_2}{2}$$

Подставим значения:

$$v_0 = \frac{900 - 100}{2} = 400 	ext{ м/с}$$

**Связь энергии взрыва с кинетическими энергиями:**

Кинетическая энергия до разрыва:

$$E_0 = \frac{Mv_0^2}{2}$$

Кинетическая энергия после разрыва:

$$E = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{m v_2^2}{2} = \frac{M}{4}(v_1^2 + v_2^2)$$

Энергия взрыва:

$$\Delta E = E - E_0 = \frac{M}{4}(v_1^2 + v_2^2) - \frac{Mv_0^2}{2}$$

$$\Delta E = \frac{M}{4}(v_1^2 + v_2^2 - 2v_0^2)$$

Выразим массу:

$$M = \frac{4\Delta E}{v_1^2 + v_2^2 - 2v_0^2}$$

Вычислим знаменатель:

$$v_1^2 + v_2^2 - 2v_0^2 = 900^2 + 100^2 - 2 \cdot 400^2$$

$$= 810000 + 10000 - 320000 = 500000 	ext{ м}^2/	ext{с}^2$$

Подставим числа:

$$M = \frac{4 \cdot 6 \cdot 10^5}{5 \cdot 10^5} = \frac{24 \cdot 10^5}{5 \cdot 10^5} = 4{,}8 	ext{ кг}$$

$$[M] = \frac{	ext{Дж}}{	ext{м}^2/	ext{с}^2} = \frac{	ext{кг·м}^2/	ext{с}^2}{	ext{м}^2/	ext{с}^2} = 	ext{кг}$$ ✓

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике