Question

Маленький шарик массой $m = 0{,}3$ кг подвешен на лёгкой нерастяжимой нити длиной $l = 0{,}9$ м, которая разрывается при силе натяжения $T_0 = 6$ Н. Шарик отведён от положения равновесия и отпущен. Когда шарик проходит положение равновесия, нить обрывается, и шарик тут же абсолютно неупруго сталкивается с бруском массой $M = 1{,}5$ кг, лежащим неподвижно на гладкой горизонтальной поверхности стола. Какова скорость бруска после удара? Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/ageJdNsRlpm0C33Rn8jYKxDyWCqSCQGnuY9PxSQH.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 0{,}3$ кг, $l = 0{,}9$ м, $T_0 = 6$ Н, $M = 1{,}5$ кг, $g = 10$ м/с².

Идея решения: найти скорость шарика в момент прохождения положения равновесия из условия центростремительного ускорения, затем применить закон сохранения импульса при абсолютно неупругом столкновении.

**Этап 1. Движение шарика в положении равновесия.**

В момент прохождения положения равновесия шарик движется по окружности радиусом $l$. На него действуют сила тяжести $mg$ (вниз) и натяжение нити $T_0$ (вверх). Равнодействующая этих сил обеспечивает центростремительное ускорение.

Применим второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось (положительное направление — вверх):

$$T_0 - mg = ma_ц$$

где $a_ц = \frac{v^2}{l}$ — центростремительное ускорение.

Подставим выражение для центростремительного ускорения:

$$T_0 - mg = \frac{mv^2}{l}$$

Выразим скорость шарика в момент обрыва нити:

$$v = \sqrt{l\left(\frac{T_0}{m} - gight)}$$

**Обоснование:** нить нерастяжима, поэтому шарик движется по окружности; воздействием воздуха пренебрегаем; система отсчёта, связанная с Землёй, инерциальна.

**Этап 2. Абсолютно неупругое столкновение.**

После обрыва нити шарик движется горизонтально со скоростью $v$ и сталкивается с неподвижным бруском. При абсолютно неупругом ударе шарик и брусок движутся вместе с общей скоростью $V$.

Применим закон сохранения импульса в горизонтальном направлении (трением о стол пренебрегаем, поверхность гладкая):

$$mv = (m + M)V$$

Выразим скорость после удара:

$$V = \frac{m}{m + M} \cdot v$$

**Обоснование:** поверхность гладкая (внешние горизонтальные силы отсутствуют); удар происходит за время, много меньшее времени последующего движения, поэтому импульс силы тяжести пренебрежимо мал; брусок движется поступательно (по условию).

**Этап 3. Подстановка и вычисление.**

Подставим выражение для $v$ в формулу для $V$:

$$V = \frac{m}{m + M} \sqrt{l\left(\frac{T_0}{m} - gight)}$$

Проверка размерности: $\frac{	ext{кг}}{	ext{кг}} \cdot \sqrt{	ext{м} \cdot \left(\frac{	ext{Н}}{	ext{кг}} - \frac{	ext{м}}{	ext{с}^2}ight)} = \sqrt{	ext{м} \cdot \frac{	ext{м}}{	ext{с}^2}} = \frac{	ext{м}}{	ext{с}}$ ✓

Численный расчёт:

$$V = \frac{0{,}3}{0{,}3 + 1{,}5} \sqrt{0{,}9 \left(\frac{6}{0{,}3} - 10ight)}$$

$$V = \frac{0{,}3}{1{,}8} \sqrt{0{,}9 \cdot (20 - 10)}$$

$$V = \frac{1}{6} \sqrt{0{,}9 \cdot 10} = \frac{1}{6} \sqrt{9} = \frac{1}{6} \cdot 3 = 0{,}5 	ext{ м/с}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/wbNqbsCvXyQE2Rfu7exlwhExCQiUeu6RWm4nfgq0.jpg)

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике