Question

На горизонтальном столе находится брусок массой $M = 1$ кг, соединённый невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с грузом массой $m = 500$ г. На брусок действует сила $\vec{F}$ , направленная под углом $\alpha = 30^{\circ}$ к горизонту, $F = 9$ Н. В момент начала движения груз находился на расстоянии $L = 32$ см от края стола. За какое время груз поднимется до края стола, если коэффициент трения между бруском и столом $\mu = 0{,}3$ ? Сделайте схематичный рисунок с указанием сил, действующих на брусок и груз. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $M = 1$ кг, $m = 0{,}5$ кг, $F = 9$ Н, $\alpha = 30^{\circ}$, $L = 0{,}32$ м, $\mu = 0{,}3$, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить второй закон Ньютона к обоим телам, учитывая связь через нить и трение между бруском и столом.

**Обоснование модели:**
- Нить нерастяжима и невесома, поэтому натяжение одинаково по всей длине и ускорения тел равны по модулю.
- Блок гладкий (невесомый), трением в нём пренебрегаем.
- Брусок скользит по столу, поэтому действует кинетическое трение.
- Оба тела движутся с одинаковым ускорением $a$ (груз вверх, брусок горизонтально).

**Силы на бруске:**
- Приложенная сила: горизонтальная компонента $F_x = F\cos\alpha = 9 \cos 30^{\circ} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 7{,}79$ Н, вертикальная $F_y = F\sin\alpha = 9 \sin 30^{\circ} = 4{,}5$ Н.
- Вес: $Mg = 10$ Н (вниз).
- Нормальная реакция: $N = Mg - F_y = 10 - 4{,}5 = 5{,}5$ Н.
- Трение: $f = \mu N = 0{,}3 \cdot 5{,}5 = 1{,}65$ Н.
- Натяжение нити: $T$ (влево).

**Силы на грузе:**
- Вес: $mg = 5$ Н (вниз).
- Натяжение нити: $T$ (вверх).

**Уравнения движения:**

Для бруска (горизонтальное направление):
$$F\cos\alpha - T - f = Ma$$

Для груза (вертикальное направление, вверх — положительное):
$$T - mg = ma$$

Из второго уравнения:
$$T = m(g + a)$$

Подставим в первое:
$$F\cos\alpha - m(g + a) - \mu(Mg - F\sin\alpha) = Ma$$

$$F\cos\alpha - mg - ma - \mu Mg + \mu F\sin\alpha = Ma$$

$$F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) - mg - \mu Mg = (M + m)a$$

$$a = \frac{F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) - g(m + \mu M)}{M + m}$$

**Подстановка значений:**

$$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866, \quad \sin 30^{\circ} = 0{,}5$$

$$a = \frac{9(0{,}866 + 0{,}3 \cdot 0{,}5) - 10(0{,}5 + 0{,}3 \cdot 1)}{1 + 0{,}5}$$

$$a = \frac{9(0{,}866 + 0{,}15) - 10(0{,}5 + 0{,}3)}{1{,}5}$$

$$a = \frac{9 \cdot 1{,}016 - 10 \cdot 0{,}8}{1{,}5} = \frac{9{,}144 - 8}{1{,}5} = \frac{1{,}144}{1{,}5} \approx 0{,}763 	ext{ м/с}^2$$

**Время движения:**

Груз проходит расстояние $L$ с ускорением $a$, начиная с нулевой скорости:
$$L = \frac{1}{2}at^2$$

$$t = \sqrt{\frac{2L}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}32}{0{,}763}} = \sqrt{\frac{0{,}64}{0{,}763}} = \sqrt{0{,}839} \approx 0{,}916 	ext{ с}$$

Уточнённый расчёт с $a = \frac{1{,}144}{1{,}5} = 0{,}7627$ м/с²:

$$t = \sqrt{\frac{0{,}64}{0{,}7627}} = \sqrt{0{,}839} \approx 0{,}92 	ext{ с}$$

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике