Question

На шероховатой наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha = 30^{\circ}$ , лежит маленькая шайба массой $m = 500$ г. Коэффициент трения шайбы о плоскость $\mu = 0{,}7$ . Какую минимальную силу $F$ в горизонтальном направлении вдоль плоскости надо приложить к шайбе, чтобы она сдвинулась с места? Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Рисунок

![](изображение)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/debrE8ZbIKZSyIPy7bHlIyUr1GOdhaonBvb4E1Zo.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $\alpha = 30^{\circ}$, $m = 0{,}5$ кг, $\mu = 0{,}7$, $g = 10$ м/с².

Идея решения: шайба начнёт скользить, когда полная сила трения достигнет максимального значения, равного произведению коэффициента трения на нормальную реакцию опоры.

**Обоснование модели:** считаем шайбу материальной точкой; нить нерастяжима; плоскость неподвижна; трением о воздух пренебрегаем; применяем второй закон Ньютона в условии равновесия (предельный случай покоя).

Установим координатную систему: ось $Ox$ — вдоль плоскости в направлении приложенной силы $F$, ось $Oy$ — вверх вдоль плоскости (перпендикулярно $Ox$), ось $Oz$ — перпендикулярно плоскости (нормаль).

На шайбу действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, нормальная реакция $\vec{N}$, сила трения $\vec{F}_{	ext{тр}}$ и приложенная сила $\vec{F}$.

В состоянии предельного равновесия (момент начала скольжения) по второму закону Ньютона:

$$\vec{F} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{	ext{тр}} = 0$$

Проекция на ось $Oz$ (перпендикулярно плоскости):

$$N - mg\cos\alpha = 0$$

$$N = mg\cos\alpha$$

Проекция на ось $Oy$ (вверх вдоль плоскости):

$$F_{	ext{тр}y} - mg\sin\alpha = 0$$

$$F_{	ext{тр}y} = mg\sin\alpha$$

Проекция на ось $Ox$ (вдоль плоскости в направлении $F$):

$$F - F_{	ext{тр}x} = 0$$

$$F_{	ext{тр}x} = F$$

Модуль силы трения при предельном равновесии:

$$F_{	ext{тр}} = \mu N = \mu mg\cos\alpha$$

Полная сила трения складывается из компонент:

$$F_{	ext{тр}} = \sqrt{F_{	ext{тр}x}^2 + F_{	ext{тр}y}^2}$$

Подставляя выражения для компонент:

$$\mu mg\cos\alpha = \sqrt{F^2 + (mg\sin\alpha)^2}$$

Возводим обе части в квадрат:

$$\mu^2 m^2 g^2 \cos^2\alpha = F^2 + m^2 g^2 \sin^2\alpha$$

$$F^2 = \mu^2 m^2 g^2 \cos^2\alpha - m^2 g^2 \sin^2\alpha$$

$$F = mg\sqrt{\mu^2 \cos^2\alpha - \sin^2\alpha}$$

Подставляем числовые значения:

$$F = 0{,}5 \cdot 10 \cdot \sqrt{0{,}7^2 \cdot \cos^2 30^{\circ} - \sin^2 30^{\circ}}$$

$$F = 5 \cdot \sqrt{0{,}49 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}ight)^2 - \left(\frac{1}{2}ight)^2}$$

$$F = 5 \cdot \sqrt{0{,}49 \cdot 0{,}75 - 0{,}25}$$

$$F = 5 \cdot \sqrt{0{,}3675 - 0{,}25}$$

$$F = 5 \cdot \sqrt{0{,}1175}$$

$$F = 5 \cdot 0{,}343 = 1{,}7 	ext{ Н}$$

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике