Question

В комнате размерами $4 	imes 5 	imes 3$ м воздух имеет температуру $10$ °C и относительную влажность $30\%$. Включили увлажнитель воздуха производительностью $0{,}2$ л/ч. Какой станет относительная влажность воздуха в комнате через $1{,}5$ ч? Давление насыщенного водяного пара при температуре $10$ °C равно $1{,}23$ кПа. Комнату считать герметичным сосудом.

Accepted Answer

Answer

Дано: размеры комнаты $a = 4$ м, $b = 5$ м, $c = 3$ м; начальная температура $T = 10$ °C $= 283$ К; начальная относительная влажность $\varphi_1 = 30\% = 0{,}3$; производительность увлажнителя $I = 0{,}2$ л/ч $= 0{,}2 \cdot 10^{-3}$ м³/ч; время работы $	au = 1{,}5$ ч; давление насыщенного пара $p_{	ext{нас}} = 1{,}23$ кПа $= 1{,}23 \cdot 10^3$ Па; молярная масса воды $M = 18 \cdot 10^{-3}$ кг/моль; газовая постоянная $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К); плотность воды $ho = 10^3$ кг/м³.

Идея решения: найти увеличение парциального давления водяного пара в герметичной комнате за счёт испарившейся воды, используя уравнение Менделеева–Клапейрона, и вычислить новую относительную влажность.

Относительная влажность определяется отношением парциального давления водяного пара к давлению насыщенного пара:

$$\varphi = \frac{p}{p_{	ext{нас}}}$$

За время $	au$ увлажнитель испаряет массу воды:

$$m = ho I 	au$$

Водяной пар в комнате подчиняется уравнению Менделеева–Клапейрона:

$$pV = \frac{m_п}{M}RT$$

где $m_п$ — масса водяного пара, $p$ — его парциальное давление, $V$ — объём комнаты.

Увеличение массы пара на $m$ приводит к увеличению парциального давления:

$$\Delta p = \frac{mRT}{MV} = \frac{ho I 	au RT}{MV}$$

Новая относительная влажность:

$$\varphi_2 = \varphi_1 + \frac{\Delta p}{p_{	ext{нас}}} = \varphi_1 + \frac{ho I 	au RT}{Mp_{	ext{нас}}V}$$

Объём комнаты:

$$V = abc$$

Подставляя численные значения:

$$\varphi_2 = 0{,}3 + \frac{10^3 \cdot 0{,}2 \cdot 10^{-3} \cdot 1{,}5 \cdot 8{,}31 \cdot 283}{18 \cdot 10^{-3} \cdot 1{,}23 \cdot 10^3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 3}$$

$$\varphi_2 = 0{,}3 + \frac{200 \cdot 1{,}5 \cdot 8{,}31 \cdot 283}{18 \cdot 1{,}23 \cdot 60}$$

$$\varphi_2 = 0{,}3 + \frac{706{,}470}{1{,}323{,}6} \approx 0{,}3 + 0{,}534 = 0{,}834$$

$$\varphi_2 \approx 0{,}83 = 83\%$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике