Question

Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки А. В точке касания В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом $R = 0{,}4$ м. Если в точке А скорость шайбы превосходит $v_0 = 4$ м/с, то в точке В шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости АВ $L = 1$ м, угол $\alpha = 30^{\circ}$ . Найдите коэффициент трения $\mu$ между наклонной плоскостью и шайбой. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Рисунок

![](image)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/mbia2h9b2hFV5izK6Ok6MdqPMYiyZXi1zbbumXEi.jpg)

Accepted Answer

Answer

Дано: $v_0 = 4$ м/с, $R = 0{,}4$ м, $L = 1$ м, $\alpha = 30^{\circ}$, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить теорему об изменении кинетической энергии на участке АВ и условие отрыва шайбы от поверхности трубы в точке В.

**Обоснование модели:**
- Шайба считается материальной точкой (размеры малы).
- Нить нерастяжима, трением о воздух пренебрегаем.
- На наклонной плоскости АВ действуют сила тяжести, нормальная реакция и трение скольжения.
- В точке В шайба отрывается, поэтому нормальная реакция обращается в нуль; далее она движется по окружности под действием только тяжести.
- Удар абсолютно упругий (пружина идеальна), поэтому механическая энергия сохраняется везде, кроме участка с трением.

**Этап 1. Движение на наклонной плоскости (А → В).**

Применим теорему об изменении кинетической энергии:

$$A_{	ext{тр}} = E_к - E_{к0}$$

где $E_{к0} = \frac{mv_0^2}{2}$ — кинетическая энергия в точке А, $E_к = \frac{mv^2}{2}$ — в точке В.

Высота подъёма:

$$h = L\sin\alpha$$

Потенциальная энергия в точке В:

$$E_п = mgh = mgL\sin\alpha$$

По закону сохранения энергии:

$$E_{к0} = E_к + E_п + |A_{	ext{тр}}|$$

где $|A_{	ext{тр}}| = \mu N L$ — модуль работы трения.

Из второго закона Ньютона в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости:

$$N = mg\cos\alpha$$

Следовательно:

$$|A_{	ext{тр}}| = \mu mg L\cos\alpha$$

Подставляя в уравнение энергии:

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgL\sin\alpha + \mu mg L\cos\alpha$$

$$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} + gL\sin\alpha + \mu g L\cos\alpha \quad (*)$$

**Этап 2. Условие отрыва в точке В.**

В точке В шайба движется по окружности радиусом $R$. Центростремительное ускорение направлено горизонтально (к центру трубы). Вертикальная составляющая силы тяжести обеспечивает центростремительное ускорение в вертикальной плоскости.

При отрыве нормальная реакция $N = 0$. Второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление (горизонтальное, к центру):

$$mg\cos\alpha = m\frac{v^2}{R}$$

$$v^2 = Rg\cos\alpha$$

**Этап 3. Нахождение коэффициента трения.**

Подставим $v^2 = Rg\cos\alpha$ в уравнение $(*)$:

$$\frac{v_0^2}{2} = \frac{Rg\cos\alpha}{2} + gL\sin\alpha + \mu g L\cos\alpha$$

$$v_0^2 = Rg\cos\alpha + 2gL\sin\alpha + 2\mu g L\cos\alpha$$

$$\mu = \frac{v_0^2 - Rg\cos\alpha - 2gL\sin\alpha}{2gL\cos\alpha}$$

Подставляем числовые значения:

$$\mu = \frac{16 - 0{,}4 \cdot 10 \cdot \cos 30^{\circ} - 2 \cdot 10 \cdot 1 \cdot \sin 30^{\circ}}{2 \cdot 10 \cdot 1 \cdot \cos 30^{\circ}}$$

$$\mu = \frac{16 - 4 \cdot 0{,}866 - 20 \cdot 0{,}5}{20 \cdot 0{,}866}$$

$$\mu = \frac{16 - 3{,}464 - 10}{17{,}32} = \frac{2{,}536}{17{,}32} \approx 0{,}15$$

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике