Question

Тонкий однородный стержень АВ шарнирно закреплён в точке А и удерживается горизонтальной нитью ВС (см. рис.). Трение в шарнире пренебрежимо мало. Масса стержня $m = 1$ кг, угол его наклона к горизонту $\alpha = 45^{\circ}$ . Найдите модуль силы $\vec{F}$ , действующей на стержень со стороны шарнира. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на стержень. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

![](https://imgur.com/placeholder)

Accepted Answer

Answer

Дано: $m = 1$ кг, $\alpha = 45^{\circ}$, $g = 10$ м/с².

Идея решения: применить условие равновесия стержня (сумма моментов сил относительно шарнира равна нулю) и найти натяжение нити, затем из условия равновесия сил определить реакцию шарнира.

**Обоснование модели:**
- Стержень находится в состоянии покоя, поэтому применимы условия статического равновесия: сумма сил и сумма моментов равны нулю.
- Трение в шарнире пренебрежимо, следовательно, реакция шарнира направлена вдоль линии, соединяющей точку А с центром масс стержня (или перпендикулярна стержню в идеальном шарнире).
- Нить нерастяжима и невесома, натяжение в ней одинаково по всей длине и направлено горизонтально.

**Расстановка сил:**

На стержень действуют три силы:
1. Вес $\vec{P} = m\vec{g}$ (приложен в центре масс, на расстоянии $L/2$ от точки А, направлен вертикально вниз).
2. Натяжение нити $\vec{T}$ (приложено в точке В, направлено горизонтально влево).
3. Реакция шарнира $\vec{F}$ (приложена в точке А).

Обозначим длину стержня как $L$. Моменты сил относительно шарнира:

$$M_P = mg \cdot \frac{L}{2} \cos\alpha$$

$$M_T = T \cdot L \sin\alpha$$

Из условия равновесия:

$$T \cdot L \sin\alpha = mg \cdot \frac{L}{2} \cos\alpha$$

$$T = \frac{mg \cos\alpha}{2\sin\alpha} = \frac{mg}{2	an\alpha}$$

При $\alpha = 45^{\circ}$: $	an 45^{\circ} = 1$, поэтому:

$$T = \frac{mg}{2} = \frac{1 \cdot 10}{2} = 5 	ext{ Н}$$

Проекции на горизонтальную ось:

$$F_x = T = 5 	ext{ Н}$$

Проекции на вертикальную ось:

$$F_y = mg = 1 \cdot 10 = 10 	ext{ Н}$$

**Модуль реакции шарнира:**

$$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} 	ext{ Н}$$

$$F = 5 \cdot 2{,}236 \approx 11{,}2 	ext{ Н}$$

**Проверка размерности:** $\sqrt{	ext{Н}^2 + 	ext{Н}^2} = 	ext{Н}$ ✓

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике