Question

Со скалы высотой $H$ над землёй начинает свободно падать стальной шарик. Через время $t = 0{,}4$ с он сталкивается с наклонной плитой, расположенной под углом $30^{\circ}$ к горизонту. После абсолютно упругого удара шарик движется по параболической траектории, и верхняя точка этой траектории находится на высоте $h = 1{,}4$ м над землёй. Определите высоту $H$. Сделайте схематический рисунок, поясняющий решение. Обоснуйте применимость используемых законов.

Accepted Answer

Answer

**Дано:**
$t = 0{,}4$ с, $\alpha = 30^{\circ}$, $h = 1{,}4$ м, $g = 10$ м/с².

**Идея решения:** найти скорость шарика в момент удара, применить закон упругого отражения от наклонной плоскости, затем использовать условие на верхнюю точку траектории для определения начальной высоты.

**Обоснование модели:**
- Шарик падает в однородном поле тяжести; сопротивлением воздуха пренебрегаем.
- Удар абсолютно упругий: кинетическая энергия сохраняется, модуль скорости не меняется, меняется только направление.
- При упругом отражении от плоскости компонента скорости, перпендикулярная плоскости, меняет знак; компонента, параллельная плоскости, остаётся неизменной.
- После удара шарик движется под действием только силы тяжести (траектория — парабола).

**Шаг 1. Скорость перед ударом.**

Шарик падает свободно из состояния покоя:

$$v_0 = gt = 10 \cdot 0{,}4 = 4 	ext{ м/с}$$

Эта скорость направлена вертикально вниз.

**Шаг 2. Компоненты скорости перед ударом.**

Выберем оси: $x$ — горизонтально (вдоль плоскости), $y$ — вертикально вверх.

Скорость перед ударом: $\vec{v}_0 = (0, -4)$ м/с.

Разложим относительно нормали и касательной к плоскости:
- Нормаль к плоскости (внутрь): под углом $90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ от горизонтали.
- Касательная (вдоль плоскости вверх): под углом $30^{\circ}$ от горизонтали.

Компонента вдоль плоскости (не меняется при упругом ударе):

$$v_{\parallel} = v_0 \sin 30^{\circ} = 4 \cdot 0{,}5 = 2 	ext{ м/с}$$

Компонента перпендикулярно плоскости (меняет знак):

$$v_{\perp} = v_0 \cos 30^{\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} 	ext{ м/с}$$

После удара компонента перпендикулярно плоскости становится $-v_{\perp} = -2\sqrt{3}$ м/с (отскок от плоскости).

**Шаг 3. Компоненты скорости после удара в системе координат $(x, y)$.**

После отражения:
- Вдоль плоскости (вверх по наклону): $v_{\parallel} = 2$ м/с.
- Перпендикулярно плоскости (от плоскости): $v_{\perp}' = 2\sqrt{3}$ м/с.

В горизонтально-вертикальной системе:

$$v_x = v_{\parallel} \cos 30^{\circ} + v_{\perp}' \sin 30^{\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{3} \cdot 0{,}5 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} 	ext{ м/с}$$

$$v_y = v_{\parallel} \sin 30^{\circ} + v_{\perp}' \cos 30^{\circ} = 2 \cdot 0{,}5 + 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 3 = 4 	ext{ м/с}$$

**Шаг 4. Высота точки удара.**

Точка удара находится на высоте:

$$h_0 = H - \frac{1}{2}gt^2 = H - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0{,}16 = H - 0{,}8 	ext{ м}$$

**Шаг 5. Условие на верхнюю точку траектории.**

В верхней точке вертикальная компонента скорости равна нулю. Используя кинематику:

$$v_y^2 = 2g(h - h_0)$$

$$16 = 2 \cdot 10 \cdot (1{,}4 - h_0)$$

$$16 = 20(1{,}4 - h_0)$$

$$1{,}4 - h_0 = 0{,}8$$

$$h_0 = 0{,}6 	ext{ м}$$

**Шаг 6. Определение высоты $H$.**

$$H = h_0 + 0{,}8 = 0{,}6 + 0{,}8 = 1{,}4 	ext{ м}$$

**Физическая разумность:** высота $H = 1{,}4$ м соответствует времени падения $t = 0{,}4$ с, что согласуется с формулой $H = \frac{1}{2}gt^2 = 5 \cdot 0{,}16 = 0{,}8$ м для свободного падения. Однако здесь плита расположена выше, поэтому $H > 0{,}8$ м — результат физически обоснован.

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике