Question

Пластилиновый шарик в момент $t = 0$ бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью $\vec{V}_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. В какой момент времени $	au$ шарики упадут на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Accepted Answer

Answer

Дано: начальная скорость первого шарика $V_0$ под углом $\alpha$; второй шарик падает с высоты $h$; массы шариков одинаковы; столкновение абсолютно неупругое; после столкновения скорость горизонтальна.

Идея решения: использовать законы сохранения импульса (вертикальная компонента) и кинематику для определения момента столкновения, затем найти время падения объединённого тела.

**Шаг 1. Компоненты скорости первого шарика перед столкновением.**

В момент времени $t_1$ (время столкновения):

$$v_{1x} = V_0 \cos\alpha$$

$$v_{1y} = V_0 \sin\alpha - gt_1$$

**Шаг 2. Скорость второго шарика перед столкновением.**

Второй шарик падает с покоя:

$$v_{2x} = 0, \quad v_{2y} = -gt_1$$

(отрицательный знак — направление вниз).

**Шаг 3. Условие: после столкновения скорость горизонтальна.**

При абсолютно неупругом столкновении двух шариков одинаковой массы $m$ применим закон сохранения импульса. Вертикальная компонента суммарного импульса после столкновения должна быть нулевой:

$$m(v_{1y} + v_{2y}) = 0$$

$$V_0 \sin\alpha - gt_1 - gt_1 = 0$$

$$V_0 \sin\alpha = 2gt_1$$

$$t_1 = \frac{V_0 \sin\alpha}{2g}$$

**Шаг 4. Горизонтальная скорость после столкновения.**

По закону сохранения импульса в горизонтальном направлении:

$$2m \cdot v_x = m \cdot V_0\cos\alpha + m \cdot 0$$

$$v_x = \frac{V_0\cos\alpha}{2}$$

**Шаг 5. Высота столкновения.**

Первый шарик поднялся на высоту:

$$y_1 = V_0 \sin\alpha \cdot t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$$

Подставим $t_1 = \frac{V_0 \sin\alpha}{2g}$:

$$y_1 = V_0 \sin\alpha \cdot \frac{V_0 \sin\alpha}{2g} - \frac{1}{2}g \cdot \left(\frac{V_0 \sin\alpha}{2g}ight)^2$$

$$y_1 = \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{2g} - \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{8g} = \frac{3V_0^2 \sin^2\alpha}{8g}$$

Второй шарик упал на расстояние:

$$\Delta y_2 = \frac{1}{2}gt_1^2 = \frac{1}{2}g \cdot \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{4g^2} = \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{8g}$$

Высота столкновения над землёй:

$$y_c = h - \Delta y_2 = h - \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{8g}$$

Проверка: $y_c = y_1$ даёт $h = \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$ (условие согласованности).

**Шаг 6. Время падения после столкновения.**

После столкновения объединённое тело находится на высоте $y_c$ с горизонтальной скоростью $v_x = \frac{V_0\cos\alpha}{2}$ и нулевой вертикальной скоростью. Время падения:

$$y_c = \frac{1}{2}g t_2^2$$

$$t_2 = \sqrt{\frac{2y_c}{g}} = \sqrt{\frac{2}{g}\left(h - \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{8g}ight)}$$

При условии $h = \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$:

$$y_c = \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{2g} - \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{8g} = \frac{3V_0^2 \sin^2\alpha}{8g}$$

$$t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 3V_0^2 \sin^2\alpha}{8g^2}} = \frac{V_0 \sin\alpha}{2g}\sqrt{3}$$

**Шаг 7. Полное время до падения на землю.**

$$	au = t_1 + t_2 = \frac{V_0 \sin\alpha}{2g} + \frac{V_0 \sin\alpha\sqrt{3}}{2g} = \frac{V_0 \sin\alpha}{2g}(1 + \sqrt{3})$$

Задание №26Динамика и законы сохраненияЕГЭ по физике