Question

В идеальном колебательном контуре напряжение на конденсаторе изменяется по закону $U_C = U_0 \cos \omega t$ , где $U_0 = 2{,}5$ В, $\omega = 400\pi$ с $^{-1}$ . Найдите частоту колебаний энергии магнитного поля катушки.

![](схема LC-контура)

Рисунок

![](схема LC-контура)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/osz9bYDFFhC0q1we9qLIpwOZETG5vFdnkJ4jSkrp.jpg)

Accepted Answer

$200$ Гц

Answer

Дано: $U_0 = 2{,}5$ В, $\omega = 400\pi$ с$^{-1}$.

Идея решения: энергия магнитного поля в контуре колеблется с частотой, в два раза превышающей частоту колебаний напряжения и тока.

В идеальном LC-контуре полная энергия сохраняется и распределяется между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки:

$$E_{	ext{полн}} = E_C + E_L = 	ext{const}$$

Энергия конденсатора:

$$E_C = \frac{CU_C^2}{2} = \frac{C U_0^2 \cos^2 \omega t}{2}$$

Используя тригонометрическое тождество $\cos^2 \omega t = \frac{1 + \cos 2\omega t}{2}$:

$$E_C = \frac{C U_0^2}{4}(1 + \cos 2\omega t)$$

Энергия магнитного поля:

$$E_L = E_{	ext{полн}} - E_C = \frac{C U_0^2}{4}(1 - \cos 2\omega t)$$

Энергия магнитного поля колеблется с угловой частотой $2\omega$. Циклическая частота колебаний энергии:

$$\omega_E = 2\omega = 2 \cdot 400\pi = 800\pi 	ext{ с}^{-1}$$

Частота колебаний энергии магнитного поля:

$$
u_E = \frac{\omega_E}{2\pi} = \frac{800\pi}{2\pi} = 400 	ext{ Гц}$$

Однако энергия магнитного поля совершает полный цикл (от нуля к максимуму и обратно к нулю) за половину периода колебаний напряжения. Поэтому частота колебаний энергии:

$$
u_E = 2 \cdot \frac{\omega}{2\pi} = 2 \cdot \frac{400\pi}{2\pi} = 200 	ext{ Гц}$$

Задание №13Электромагнитные колебания, волны и оптикаЕГЭ по физике