Question

В камере, заполненной азотом при температуре $T_0 = 300$ К, находится открытый цилиндрический сосуд высотой $L = 50$ см. Сосуд закрывают пробкой и охлаждают до температуры $T_1$ . При этом расстояние от дна сосуда до низа пробки становится $h = 40$ см. Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры $T_0$ , и расстояние от дна до низа пробки становится $H = 46$ см. Давление азота в камере остаётся постоянным. Сила трения между пробкой и стенками одинакова при движении вверх и вниз. Массой пробки пренебречь.

Найти температуру $T_1$ .

![](рис. 1, 2, 3 — три состояния сосуда)

Рисунок

Найти температуру $T_1$.

![](рис. 1, 2, 3 — три состояния сосуда)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/uhgqowE8AlieUrxOLWfPAZf6GQx8tu5exHs3Ae94.webp)

Accepted Answer

Answer

Дано: $T_0 = 300$ К, $L = 0{,}50$ м, $h = 0{,}40$ м, $H = 0{,}46$ м, давление в камере $p_0$ постоянно.

Идея решения: применить уравнение Менделеева–Клапейрона для газа в сосуде в трёх состояниях и условия равновесия пробки, чтобы исключить силу трения и найти $T_1$.

**Состояние 1 (начальное, $T_0$):** газ занимает объём $V_0 = LS$, давление $p_0$, температура $T_0$.

**Состояние 2 (охлаждение до $T_1$):** газ занимает объём $V_1 = hS$, давление $p_1$, температура $T_1$.

Из уравнения Менделеева–Клапейрона для одного и того же количества газа:

$$\frac{p_0 LS}{T_0} = \frac{p_1 hS}{T_1}$$

$$p_1 = \frac{T_1 p_0 L}{T_0 h}$$

При охлаждении пробка находится в равновесии. Внешнее давление $p_0$ действует вниз, внутреннее давление $p_1$ действует вверх, сила трения $F_{	ext{тр}}$ действует вверх (препятствует движению пробки вниз):

$$p_0 S = p_1 S + F_{	ext{тр}}$$

$$F_{	ext{тр}} = S(p_0 - p_1)$$

**Состояние 3 (нагревание до $T_0$):** газ занимает объём $V_2 = HS$, давление $p_2$, температура $T_0$.

Из уравнения Менделеева–Клапейрона:

$$\frac{p_0 LS}{T_0} = \frac{p_2 HS}{T_0}$$

$$p_2 = \frac{p_0 L}{H}$$

При нагревании пробка движется вверх. Внутреннее давление $p_2$ действует вверх, внешнее давление $p_0$ действует вниз, сила трения $F_{	ext{тр}}$ действует вниз (препятствует движению пробки вверх):

$$p_2 S = p_0 S + F_{	ext{тр}}$$

$$p_2 = p_0 + \frac{F_{	ext{тр}}}{S}$$

Подставим выражение для силы трения:

$$p_2 = p_0 + (p_0 - p_1) = 2p_0 - p_1$$

Приравняем два выражения для $p_2$:

$$\frac{p_0 L}{H} = 2p_0 - p_1$$

$$p_1 = 2p_0 - \frac{p_0 L}{H}$$

Подставим выражение для $p_1$ из первого состояния:

$$\frac{T_1 p_0 L}{T_0 h} = 2p_0 - \frac{p_0 L}{H}$$

Разделим на $p_0$:

$$\frac{T_1 L}{T_0 h} = 2 - \frac{L}{H}$$

$$T_1 = \frac{T_0 h}{L}\left(2 - \frac{L}{H}ight)$$

Подставим численные значения:

$$T_1 = \frac{300 \cdot 0{,}40}{0{,}50}\left(2 - \frac{0{,}50}{0{,}46}ight)$$

$$T_1 = \frac{120}{0{,}50}\left(2 - 1{,}087ight) = 240 \cdot 0{,}913 \approx 219 	ext{ К}$$

Задание №24Молекулярная физика и термодинамикаЕГЭ по физике